Οι αριθμοί Fibonacci και η χρυσή τομή‏

Ο Fibonacci γεννήθηκε στη δεκαετία του 1170 στη Πίζα και πέθανε αυτή του 1240. Το πραγματικό του όνομα ήταν Leonardo Pisano, όμως ο ίδιος αποκαλούσε τον εαυτό του Fibonacci, σύντμηση του Filius Bonacci (γιος του Bonacci), από το όνομα του πατέρα του. Ο Fibonacci μεγάλωσε εκεί και η εκπαίδευσή του επηρεάστηκε σημαντικά από τους Μαυριτανούς αλλά και από τα ταξίδια που έκανε αργότερα σε όλο το μήκος της Μεσογειακής ακτής. Έτσι γνώρισε πολλούς εμπόρους και έμαθε τα αριθμητικά συστήματα που αυτοί χρησιμοποιούσαν για τις συναλλαγές και τους λογαριασμούς τους. Σύντομα διαπίστωσε τα πλεονεκτήματα του «Ινδοαραβικού» αριθμητικού συστήματος και έγινε από τους πρώτους που το εισήγαγαν στην Ευρώπη. Πρόκειται για το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιείται και σήμερα, με δέκα ψηφία, ένα εκ των οποίων το μηδέν, και την υποδιαστολή.

Η ακολουθία αριθμών στην οποία ο κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων είναι γνωστή ως ακολουθία Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ...
Ας προσπαθήσουμε τώρα να υπολογίσουμε τους λόγους 2 διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας.(Διαιρούμε κάθε αριθμό της ακολουθίας με τον επόμενό του) Έτσι έχουμε (οι υπολογισμοί γίνονται με 7 δεκαδικά ψηφία προσέγγιση χωρίς στρογγυλοποίηση) :
1/1=1,000000000000
1/2=0,500000000000
2/3=0,666666666666
3/5=0,600000000000
5/8=0,625000000000
8/13=0,61353846154
13/21=0,619047619
21/34=0,6176470588
34/55=0,6181818182
55/89=0,6179775281
89/144=0,6180555556
144/233=0,6180257511
233/377=0,6180371353
377/610=0,6180327869
Εύκολα παρατηρούμε πως αυτός ο λόγος τείνει να προσεγγίσει έναν αριθμό.
Ας προσπαθήσουμε τώρα να υπολογίσουμε το αντίστροφο(Διαιρούμε κάθε αριθμό της ακολουθίας με τον προηγούμενο του) :

1/1=1,0000000
2/1=2,0000000
3/2=1,5000000
5/3=1,6666667
8/5=1,6000000
13/8=1,6250000
21/13=1,61538615
34/21=1,619047619
55/34=1,617647059
89/55=1,618181818
144/89=1,617977528
233/144=1,618055556
377/233=1,618025751
610/377=1,618037135
Και σε αυτήν την περίπτωση βλέπουμε πως ο λόγος τείνει να προσεγγίσει έναν αριθμό.

Ο παρατηρητικός αναγνώστης ήδη θα έχει δει και την σχέση που συνδέει αυτούς τους δυο λόγους। Αυτή θα είναι (αν Fn ο n-στός όρος της ακολουθίας Fibonacci):

O λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας ονομάζεται Χρυσή Τομή, ή Χρυσή αναλογία, ή Αριθμό φ και προσεγγίζει τον άρρητο αριθμό 1.618033989..
Άρα σύμφωνα με αυτό ο παραπάνω τύπος μπορεί να γραφεί

Ο άρρητος αριθμός που προσεγγίζει τον φ είναι ακριβώς και η λύση της παραπάνω δευτεροβάθμιας εξίσωσης( αν απορρίψουμε την αρνητική λύση) δηλαδή .

Αν ο αριθμός φ είναι και ο λόγος των διαστάσεων ενός ορθογωνίου τότε το ορθογώνιο αυτό ονομάζεται χρυσό ορθογώνιο


Μπορούμε να δημιουργήσουμε άπειρα τέτοια ορθογώνια που το ένα να εμπεριέχει το άλλο(προσεγγίζοντας ακόμα περισσότερο το σχήμα της σπείρας)

Η πρώτη εικόνα είναι χρυσά ορθογώνια που σχηματίζουν μια σπείρα με μέγεθος ανάλογο με το πόσους αριθμούς Fibonacci έχουμε συμπεριλάβει. Η τρίτη εικόνα είναι η τομή από το κέλυφος του ναυτίλου (η ομοιότητα των σπειρών του Fibonacci και του συγκεκριμένου δημιουργήματος της φύσης είναι εκπληκτική αν και δεν είναι η μοναδική)

Οι χρυσές σπείρες και τα χρυσά ορθογώνια περιέχονται στην φύση στην αρχιτεκτονική στην γλυπτική στην ζωγραφική ακόμα και στο ανθρώπινο σώμα


Η ακολουθία Fibonacci και η φύση

Τα φυτά δε γνωρίζουν για την ακολουθία Fibonacci, απλά μεγαλώνουν με τον πιο πρόσφορο και αποδοτικό τόπο. Όμως η ακολουθία κάνει την εμφάνισή της στη διάταξη των φύλων γύρω από το μίσχο. Εμφανίζεται επίσης στην ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη των πετάλων στις μαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια. Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν τη σειρά αριθμών στη δομή της επιφάνειας των κορμών τους, ενώ τα φοινικόδεντρα στους δακτυλίους των κορμών τους. Όμως πώς προκύπτει αυτή η διάταξη, αυτή η συμμετρία σε σχέση με την ακολουθία; Στην περίπτωση του φυλλώματος μπορεί να σχετίζεται με τη μεγιστοποίηση του χώρου που είναι διαθέσιμος για την ανάπτυξη κάθε φύλλου ή το φώς πρέπει να πέφτει πάνω στο κάθε φύλλο. Η φύση προφανώς δεν προσπαθεί να χρησιμοποιήσει την ακολουθία Fibonacci, αυτή εμφανίζεται ως το δευτερεύον αποτέλεσμα μιας πολύ βαθύτερης φυσικής διαδικασίας.

Η χρυσή τομή στην Τέχνη και την Αρχιτεκτονική

Η χρυσή τομή συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα φ, το αρχικό του
ονόματος του Φειδία, δημιουργός των γλυπτών του Παρθενώνα(Χαρακτηριστικό παράδειγμα Αρχιτεκτονικής όπου συναντάται ο λόγος χρυσής τομής στις αναλογίες των πλευρών του.). Η πρόσοψη του Παρθενώνα όπως φαίνεται και από την φωτογραφία δίπλα, μπορεί νοητά να εγγραφεί σε ένα χρυσό ορθογώνιο που σημαίνει ότι ο λόγος των διαστάσεών του είναι ο αριθμός φ. Επίσης συναντάμε την χρυσή τομή από την πυραμίδα του Χέοπα και της Γκίζας στην αρχαία Αίγυπτο μέχρι στις μεσαιωνικές εξωτερικές διαρρυθμίσεις την κριρίων.

Η χρυσή τομή στη γλυπτική και ζωγραφική

Το βιβλίο του, όπου μελετούσε τον αριθμό φ, εικονογραφήθηκε από τον γνωστό καλλιτέχνη Leonardo da Vinci. Ο Leonardo για αρκετό καιρό έδειξε ένα διακαές ενδιαφέρον για τα μαθηματικά στην τέχνη και την φύση και επιδόθηκε σε συστηματικές μελέτες. Μελέτησε τις αναλογίες του ανθρωπίνου σώματος και ειδικότερα τις αναλογίες στο ανθρώπινο πρόσωπο.

Eργα Leonardo da Vinci (1451-1519)

Με την σειρά : Mona Lisa , Μελέτη αναλογιών σώματος κατά τον Vitruvious, Άγιος Ιερώνυμος, Μελέτη αναλογιών

προσώπου γέρου

Πέρα όμως από τα επιστημονικά δεδομένα η χρυσή αναλογία, ο αριθμός φ, περιβάλλεται από ένα πέπλο μυστηρίου, κυρίως γιατί εντυπωσιακές προσεγγίσεις του απαντώνται, εντελώς απρόσμενα σε ένα σωρό μέρη στη φύση. Ακόμα και μια τομή του ανθρώπινου DNA φαίνεται να ενσωματώνεται άψογα σε ένα χρυσό δεκάγωνο. Η χρυσή αναλογία και τα σχήματα που σχετίζονται με αυτή συνεχίζουν να κινούν το ενδιαφέρον των μαθηματικών, αλλά και των απλών ανθρώπων.

Επίλογος

Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν κάποια σχετική δυσκολία στο να χειριστούν τους άρρητους αριθμούς. Γι' αυτό και το Πυθαγόρειο Θεώρημα αποτελεί σταθμό στη μαθηματική σκέψη. Ονόμαζαν λοιπόν τους ρητούς αριθμούς (τα κλάσματα φυσικών) σύμμετρα μεγέθη, ενώ τους άρρητους όταν πλέον τους αποδέχτηκαν τους ονόμασαν ασύμμετρα μεγέθη.

Μία πρώτη διαπίστωση που μπορεί να κάνει και ένας μαθητής Γυμνασίου, είναι ότι μπορούμε να προσεγγίσουμε τους άρρητους με ρητούς αρκετά ικανοποιητικά. Άλλωστε και οι υπολογιστικές μηχανές χρησιμοποιούν μόνο ρητούς, αφού η οθόνη τους περιέχει πεπερασμένα δεκαδικά ψηφία.

Υπάρχει όμως ένα θεώρημα της θεωρίας αριθμών, το θεώρημα του Hurwitz, που εξηγεί πόσο «καλά» μπορούν οι ρητοί να προσεγγίσουν έναν άρρητο. Και εκεί υπάρχει ένας περιορισμός: Η συγκεκριμένη προσέγγιση δεν μπορεί να γίνει καλύτερη για τον αριθμό φ. Με άλλα λόγια, ο αριθμός προσεγγίζεται κατά τον χειρότερο τρόπο από τους ρητούς, είναι δηλαδή «ο πιο άρρητος από τους άρρητους»!

Γιατί αυτός ο «τόσο άρρητος» αριθμός, εμφανίζεται ξανά και ξανά στην φύση και μάλιστα είναι ο παράγοντας που καθορίζει την αρμονία και την ομορφιά στον κόσμο μας;

Εξοπλισμένοι στην παραλία

Το καλοκαίρι έφτασε επιτέλους και ήδη πολλοί από εσάς έχετε ξεχυθεί στις παραλίες. Φυσικά, ούτε από εκεί θα μπορούσαν να λείπουν τα αγαπημένα μας gadgets! Σας παρουσιάζουμε, λοιπόν, τα 10 καλύτερα gadgets που θα κάνουν τις εξορμήσεις σας στις παραλίες πιο διασκεδαστικές!

1. Τι καλύτερο για το φετινό καλοκαίρι από μια μουσική πετσέτα θαλάσσης! Εξοπλισμένη με δύο ηχεία, η πετσέτα Hi-Sun μπορεί να συνδεθεί με MP3 player, iPod, ακόμα και iPhone. Επιπλέον, διαθέτει μπαταρία Li-on η οποία επαναφορτίζει μέσω USB. Μετά την ηλιοθεραπεία σου δε, η πετσέτα διπλώνει και μεταμορφώνεται σε μια πρακτική τσάντα!

2. Κάτω από τον καυτό ήλιο δεν υπάρχει τίποτα πιο δροσιστικό και αναζωογονητικό από ένα παγωμένο ποτό, ειδικά αν το ρουφάς με ένα καλαμάκι …από πάγο!

3. Το γεγονός ότι απολαμβάνεις τη θάλασσα δε σημαίνει ότι δε μπορείς να ακούς την αγαπημένη σου μουσική. Το παρακάτω ασύρματο ηχείο συνδέεται ασύρματα με τον υπολογιστή, το iPod ή το Mp3 σου και σε ακολουθεί στις βουτιές σου!

4. Αν πάλι που δε βρίσκεις πρακτικό το παραπάνω gadget ή δε θέλεις να ζαλίζεις τους γύρω με τη μουσική σου, μπορείς να πάρεις μαζί σου το iPhone ή το iPod Touch σου, με αυτήν την αδιάβροχη και παράλληλα πρακτικότατη θήκη που θα κρατήσει τη διασκέδαση μόνο για σένα!

5. Εν όψει τις οικονομικής χρήσης ένα gadget που θα αγαπηθεί από πολλούς (ενώ δε θα είναι λίγοι και αυτοί που θα κοροιδέψουν). Οι σαγιονάρες αυτές διαθέτουν ανιχνευτή μετάλλων, ο οποίος σε ειδοποιεί με ήχο, δόνηση ή απλά μια φωτενή ένδειξη. Το σίγουρο είναι ότι θα βγάλει τα λεφτά του!

6. Σε περίπτωση που είσαι λάτρης του ψαρέματος αλλά δεν τα καταφέρνεις και τόσο καλά, το παρακάτω ρολόι θα σε βγάλει από τη δύσκολη θέση, αφού εκτός από την ώρα “μαρτυράει” και την ακριβή τοποθεσία των ψαριών!

7. Ο παρακάτω ηλιακός φορτιστής θα σου εξασφαλίσει ότι δε θα ξεμείνεις ποτέ πια από μπαταρία στη θάλασσα. Διαθέτει 11 διαφορετικούς αντάπτορες για να φορτίσεις όλες τις ηλεκτρικές σου συσκευές!

8. Η ρακέτα-μυγοσκοτώστρα θα σε απαλλάξει από τα ενοχλητικά έντομα που σε περιτριγυρίζουν και δε σε αφήνουν να απολαύσεις την ηλιοθεραπεία σου. Με το πάτημα ενός κουμπιού, διοχετεύει τον ηλεκτρισμό από τις μπαταρίες στο μεταλλικό πλέγμα που διαθέτει, εξουδετερώνοντας όλα τα έντομα ανεξαρτήτως μεγέθους. Αυτό το gadget, εκτός των άλλων, υπόσχεται να σε κάνει και έναν πραγματικό επαγγελματία στο τένις!

9. Πόσες φορές έχεις πάει στη παραλία και πριν βουτήξεις ψάχνεις κάποιον να σου φυλάει τα πολύτιμα αντικείμενα σου για να μην σου τα κλέψουν; Το LOCK LOCK είναι η λύση στο πρόβλημα σου. Ένα καλαίσθητο κουτί που συνοδεύεται από κλειδαριά ασφαλείας, κατάλληλο για να προστατέψει τα πολύτιμα αντικείμενά σου (αλλά και της παρέας σου) όση ώρα απολαμβάνεις τις βουτιές σου στη θάλασσα. Απλά τοποθέτησε τα αντικείμενα σου μέσα στο κουτί, δέστο στην ξαπλώστρα ή στην ομπρέλα σου και ορμήξε στη θάλασσα χωρίς άγχος!

10. Αν βέβαια όλα αυτά τα gadgets δε σε συγκινούν, ενώ το μόνο που θέλεις είναι να μαγνητίσεις όλα τα γυναικεία βλέμματα (και όχι μόνο…), ετοιμάσου να γίνεις πιο σέξι από ποτέ φορώντας το μαγιό του Borat! Ένα χιουμοριστικό gadget που θα χαρίσει σε εσένα και την παρέα σου αξέχαστες στιγμές γέλιου!

Πρόταση για σινεμά - Ο Χάρι Πότερ και οι Κλήροι του Θανάτου, Μέρος 2ο

Στο επικό φινάλε, η μάχη ανάμεσα στις δυνάμεις του Καλού και του Κακού κλιμακώνεται σε πλήρη πολεμική σύρραξη. Η κατάσταση ποτέ δεν ήταν κρισιμότερη και κανείς δεν είναι ασφαλής. Αλλά είναι ο Χάρι εκείνος που καλείται να κάνει την απόλυτη θυσεία, καθώς πλησιάζει όλο και περισσότερο η τελική του αναμέτρηση με τον Λόρδο Βόλντεμορτ. Όλα τελειώνουν εδώ!


Harry Potter and the Deathly Hallows: Part 2
Φαντασίας (2011) Διάρκεια: 125'Αγγλοαμερικανική ταινία σε σκηνοθεσία Ντέιβιντ Γιέιτς με τους: Ντάνιελ Ράντκλιφ, Έμα Γουάτσον, Ρούπερτ Γκριντ, Ρέιφ Φάινς, Έλενα Μπόναμ Κάρτερ

κριτική
Με την ολοκλήρωση της, η κινηματογραφική σειρά του Χάρι Πότερ είναι σαν ένας δρομέας που τρέχει σε δρόμο με εμπόδια. Έχει χαλαρό ξεκίνημα, πέφτει πάνω σε όλα σχεδόν τα εμπόδια, αλλά στο φινάλε φορτσάρει και κόβει το νήμα πρώτος! Το έσχατο Χάρι Πότερ είναι το μεγαλειώδες block-buster που ευελπιστούσαν οι φίλοι του μικρού μάγου, αφού, εν ολίγοις, έχει τα πάντα. Σε αφήνει με ένα γλυκόπικρο συναίσθημα του «θέλω κι άλλο». Τελικά, υπάρχουν μαγικά ραβδιά, ακόμα και σε περιπτώσεις που ο σκηνοθέτης απλά διεκπεραιώνει τη δουλίτσα του. Φαντάζει ότι όλα ήταν έτοιμα για κάτι τέτοιο κι απλά συνέβη…

Βάλτε στο νου σας τα επιμέρους καλά στοιχεία της σειράς και πολλαπλασιάστε τα! Το συναίσθημα ανεβαίνει με τους ήρωες να ζουν τα έσχατα, ακόμη και κυριολεκτικά, με τον Alan Rickman να κερδίζει στο παρά πέντε τα εύσημα της καλύτερης ερμηνευτικής παρουσίας στη σειρά. Θέλετε δράση; Όση έχουν όλες οι προηγούμενες ταινίες μαζί, θα την δείτε εδώ συσσωρευμένη. Θέλετε σκοτάδι; Τόσο ένα μαύρο πέπλο, όσο και δείγματα βίας επιβάλλονται του συνόλου, σε μια ταινία που λέει «κομμένα τα παιχνίδια». Αυτό δεν σημαίνει πως θα ξυπνήσει απότομα το παιδί που κρύβουμε μέσα μας, αλλά ότι από το πρώτο λεπτό ως το τελευταίο, θα εγκλωβιστείτε μέσα στην οθόνη. Και τώρα γίνεται πιο λυπηρό από ποτέ το γεγονός πως τα Χάρι Πότερ δεν κρύβουν κάτι το αληθινά ουσιώδες μέσα τους. Ακόμη και για παραμύθι, στεγνό είναι. Μήπως, όμως, είναι κουβέντα για κάποια άλλη στιγμή; Μη το χάσετε, καθίστε αναπαυτικά κι απολαύστε το!

δείτε το trailer

Πανελλαδικές 2011 - Λίγα τα άριστα γραπτά

Τα τελευταία στατιστικά στοιχεία του υπουργείου Παιδείας δεν άλλαξαν την εικόνα των επιδόσεων των μαθητών στις Πανελλαδικές, ούτε και τις εκτιμήσεις σχετικά με την πορεία των βάσεων.

Τα βασικά συμπεράσματα είναι η "εξαφάνιση" των άριστων γραπτών και η αύξηση αυτών με βαθμολογίες κάτω από τη βάση.

Επίσης παρατηρείται μεγάλος αριθμός γραπτών με μέτριες και πολύ χαμηλές βαθμολογίες, κάτι που σημαίνει μεγάλη πτώση στις βάσεις.

Από το σύνολο των 86.600 υποψηφίων των φετινών πανελλαδικών εξετάσεων οι 55.191 απέσπασαν Γενικό Βαθμό Πρόσβασης πάνω από τη βάση, ενώ 30.409 υποψήφιοι από 0 μέχρι και 9,99.

Από τους 36.895 υποψηφίους της Θεωρητικής Κατεύθυνσης οι 24.178 είχαν Γενικό Βαθμό Πρόσβασης ίσο ή μεγαλύτερο από τη βάση, ενώ 12.717 υποψήφιοι δεν κατόρθωσαν να φτάσουν τη βάση. Στη Θετική Κατεύθυνση των 11.665 υποψηφίων, οι 9.745 ξεπέρασαν τη βάση, ενώ μόλις 1920 όχι.

Στην Τεχνολογική κατεύθυνση Ι από τους 777 υποψήφιους οι 629 απέσπασαν Γενικό Βαθμό Πρόσβασης πάνω από τη βάση, ενώ 148 κυμάνθηκαν από 0 μέχρι 9,99. Στην πολυπληθή Τεχνολογική ΙΙ των 36.263 υποψηφίων, οι 20.639 απέσπασαν Γενικό Βαθμό Πρόσβασης μεγαλύτερο από 10 και μέχρι το Άριστα, ενώ οι υπόλοιποι 15.624 από 0 μέχρι και 9,99.

Ελάχιστα τα άριστα γραπτά

Τα ιδιαίτερα αυξημένης δυσκολίας θέματα στις φετινές πανελλαδικές είχαν ως αποτέλεσμα τη σημαντική μείωση του ποσοστού των άριστων γραπτών σε μόλις 7,22% του συνόλου των υποψηφίων.

Αντιθέτως, η συγκέντρωση του 57,26% των Γενικών Βαθμών Πρόσβασης σε μεσαίες βαθμολογικές κλίμακες (10-17,99) ενισχύει, τις εκτιμήσεις για συμπίεση των βάσεων στο σύνολο των Σχολών και σε όλα τα επιστημονικά πεδία.

Αναλυτικότερα, 7,22% των γραπτών απέσπασαν το Άριστα (18-20), το 22,77% είχε Βαθμό Πρόσβασης από 15-17,99, το 34,49% βρέθηκε στις χαμηλομεσαίες βαθμολογικές κλίμακες (10-14,99%), το 26,56% Βαθμό Πρόσβασης από 5 μέχρι 9,99, ενώ το 8,99% των γραπτών είχε βαθμούς από 0 μέχρι και 4,99.

Τα στοιχεία σε κάθε κατεύθυνση

Στην Θεωρητική Κατεύθυνση το 6,27% των γραπτών απέσπασε Άριστο Βαθμό Πρόσβασης (18-20), το 23,51% από 15 μέχρι και 17,99, το 35,76% από 10 μέχρι και 14,99. Περισσότερο από 30% των υποψηφίων της Θεωρητικής δεν κατόρθωσε να αποσπάσει βαθμό πρόσβασης μεγαλύτερο από τη βάση καθώς το 25,55% βρέθηκε στην κλίμακα από 5 μέχρι και 9,99 και 8,92% βαθμό από 0 μέχρι και 4,99.

Ούτε και η Θετική Κατεύθυνση που μας έχει συνηθίσει σε υψηλές βαθμολογίες δεν γλίτωσε από τη φετινή "σφαγή" των υποψηφίων.

Οι άριστοι υποψήφιοι ανέρχονται στο πολύ χαμηλό για την κατεύθυνση ποσοστό 16,65% (βαθμό από 18-20), το 34,51% βρέθηκε στην κλίμακα 15-17,99, το 32,36% στην κλίμακα 10-14,99, ποσοστό 12,84% των γραπτών απέσπασαν βαθμούς από 5 μέχρι και 9,99, ενώ ένα ποσοστό 3,61 από 0 μέχρι και 4,99.

Στην Τεχνολογική Ι το 15,18% των Βαθμών Πρόσβασης απέσπασαν το Άριστα (18-20), το 32,82% των Βαθμών κυμάνθηκαν από 15 μέχρι και 17,99, 32,95% από 10 μέχρι και 14,99, 16,35% από 5 μέχρι και 9,99 κι 2,71% από 0 μέχρι και 4,99.

Στην πολυπληθή Τεχνολογική ΙΙ μόλις το 4,96% των Βαθμών Πρόσβασης ήταν Άριστο (18-20), το 18,06% κυμάνθηκε σε υψηλές βαθμολογίες (15-17,99), από τη βάση και μέχρι τη μέση της κλίμακας (10 μέχρι 14,99) το 33,89%, ενώ σημαντικό ποσοστό 32,21% από 5 μέχρι και 9,99, ενώ ένα σημαντικό ποσοστό (10,88%) από 0 μέχρι και 4,99.

Πώς αναμένεται να κινηθούν οι βάσεις

Στο 1o Πεδίο , οι βάσεις στις νομικές σχολές δεν θα παρουσιάσουν μεγάλη μεταβολή, αφού η μείωση των θέσεων εισαγωγής, αντιστάθμισε τις απώλειες μορίων

Στις υπόλοιπες σχολές του πεδίου, αναμένεται καθοδική πτώση, με το Παιδαγωγικό του ΑΠΘ για παράδειγμα, να συνεχίζει την πορεία των τελευταίων ετών (18.711 το 2010 και 18.887 το 2009). Αντίστοιχου επιπέδου μεταβολές (μέχρι 100 μόρια) και για Αγγλική Φιλολογία, Νηπιαγωγούς και Ψυχολογία.

Στο 2ο Πεδίο θα έχουμε πτώση στις βάσεις. Μικρότερη πτώση σε δεύτερες σχολές της Αθήνας και Θεσσαλονίκης και μεγαλύτερη σε πρωτοκλασάτες της Επαρχίας. Ενδεικτικά η Γεωπονική ΑΠΘ, πιστεύεται πως θα έχει πτώση, μόλις κοντά στα 100 μόρια, ενώ οι αντίστοιχες Φυσικομαθητικές της επαρχίας, θα έχουν απώλεια σίγουρα πάνω από 200 μόρια.

Στο 3ο Πεδίο , οι Ιατρικές Αθήνας και Θεσσαλονίκης, δεν θα χάσουν πάνω από 100 μόρια σε βάσεις εισαγωγής. Οι αριστούχοι που έμειναν απέξω, θα διατηρήσουν υψηλά και Φαρμακευτική, Οδοντιατρική, Βιολογία και Κτηνιατρική! Ενώ στα δημοφιλή ΤΕΙ θα έχουμε μικρές αυξομειώσεις.

Στο 4ο Πεδίο,το Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών του ΕΜΠ αναμένεται να έχει τις υψηλότερες βάσεις στις άλλες σχολές θα παρατηρηθούν αυξομειώσεις . Η βάση για τα ΑΕΙ του 4ου Επιστημονικού Πεδίου αναμένεται να ανοίξει με πάνω από με 10.400 μόρια, ενώ των ΤΕΙ με πάνω από 8.500.

Στο 5ο Πεδίο, αναμένεται ελάχιστη πτώση στις υψηλόβαθμες και περιζήτητες (Λογιστική, Χρηματοοικονομικά, Οικονομικών Σπουδών, Οργάνωση και διοίκηση) αλλά κατρακύλα για τις μεσαίες και χαμηλές σχολές!

Οι Στρατιωτικές Σχολές του 1ου Επιστημονικού Πεδίου αναμένεται να χαμηλώσουν έστω και λίγο τις βάσεις τους. Στα ίδια επίπεδα με πέρσι αναμένεται να κινηθούν οι Στρατιωτικές του 2ου και του 4ου Επιστημονικού Πεδίου, ενώ χαμηλότερες θα είναι οι βάσεις στις Στρατιωτικές Ιατρικές, Οδοντιατρικές κ.λπ.

Οι πρώτοι αριθμοί του Mersenne

Ο Martin Mersenne(Μερσέν) (1588-1648) ήταν ένας Γάλλος καλόγερος που τα ενδιαφέροντα του δεν περιορίζονταν μόνο σε θρησκευτικά θέματα! Λάτρευε τη μουσική και ήταν ο πρώτος που ανέπτυξε μια ολοκληρωμένη θεωρία αρμονίας. Ο Μερσέν ήταν αυτός που δημοσιοποίησε πολλούς από τους ισχυρισμούς του Φερμά λόγω της συχνής αλληλογραφία τους. Γενικά ο Μερσέν υπήρξε ένας από τους διακινητές των μαθηματικών ιδεών . Ο Μερσέν έδειχνε μεγάλο ενδιαφέρον για τους πρώτους αριθμούς (πρώτος είναι ένας αριθμός που διαιρείται μόνο με την μονάδα και τον εαυτό του, οι πρώτοι αποτελούν τον "δομικό λίθο" των άλλων αριθμών αλλά οι ανάλυση τους δεν μπορεί να γίνει μέσα σε μια παρένθεση γι' αυτό σταματώ εδώ) και στην προσπάθεια του να ανακαλύψει έναν τύπο που να τους παράγει έφτιαξε έναν μηχανισμό για την δημιουργία μεγάλων πρώτων που μας απασχολεί ακόμα και σήμερα….

Ο Mersenne είχε την ιδέα να δημιουργεί πρώτους απλά πολλαπλασιάζοντας το 2 πολλές φορές με τον εαυτό του και αφαιρώντας την μονάδα (2^N -1) για παράδειγμα 2 Χ 2 Χ 2 – 1 = 7. Σε αυτόν τον συλλογισμό παρατηρούμε πολλές ομοιότητες με την απόδειξη του Ευκλείδη για την απειρία των πρώτων αριθμών, δηλαδή πήρε τον αριθμό που διαιρείται με πολλούς αριθμούς και τον μετατόπισε κατά μια μονάδα με την ελπίδα ότι ο νέος αριθμός δεν θα διαιρείται με κανέναν. Γρήγορα κατάλαβε πως για να έχει κάποια τύχη αυτός ο τύπος θα έπρεπε και ο Ν να είναι πρώτος. Όμως το αντίστροφο δεν ισχύει δηλαδή αν ο Ν είναι πρώτος δεν σημαίνει πως και ο 2^N -1 πρέπει να είναι αναγκαστικά πρώτος. Για παράδειγμα για Ν=11 (πρώτος) έχουμε 2^N -1=2047 που δεν είναι πρώτος αφού π.χ. διαιρείται με το 23 (2047 ÷ 23 = 89).

Ο Mersenne είχε προβλέψει για ποιες τιμές του Ν ο 2^N -1 θα είναι πρώτος : 2 ,3 ,5 ,7 ,13 ,19 ,31 ,67 ,127 ,257

Ο αριθμός 2²⁵⁷ -1 είναι τόσο μεγάλος που δύσκολα κάποιος θα μπορούσε να αμφισβητήσει την πρόβλεψη του , έτσι ο Mersenne αισθανόταν μια ασφάλεια όταν έκανε αυτή διατύπωση(θα δούμε αν έκανε καλά……).

Το 1876 ο Γάλλος Μαθηματικός Eduard Lucas βρήκε τρόπο για να επαληθεύει αν κάποιοι αριθμοί Mersenne είναι πρώτοι. Με τη μέθοδο του απέδειξε πως ο Mersenne είχε παραλείψει από τον κατάλογο των αριθμών Ν, για τους οποίους ο 2^N -1 είναι πρώτος, τους 61 , 89 και 107 ενώ είχε συμπεριλάβει λανθασμένα το 67. Εδώ αξίζει να σημειώσουμε ,για να καταλάβουμε πόσο σημαντική ήταν η μέθοδός του, πως επαλήθευσε ότι είναι όντως πρώτος ο 2¹²⁷ -1 ένας αριθμός με ούτε λίγο ούτε πολύ 39 ψηφία!!! Παρόλα αυτά ο 2²⁵⁷ -1 παρέμενε έξω από τις δυνατότητες του Lukas.

Και θα παρέμενε έξω από τις δυνατότητες του κόσμου γενικά μέχρι να έρθει το 1930 ο Λεμέρ (σε ηλικία μόλις 25 ετών παρακαλώ) να βελτιώσει την μέθοδο του Λύκας .Η απόδειξη είναι απλή στην υλοποίηση της αλλά αποτελεί μυστήριο ακόμα και σήμερα η σύλληψη της. Έτσι ο Λεμέρ , αντιστρέφοντας το πρόβλημα, έδειξε πως ο 2^N -1 είναι πρώτος μόνο αν διαιρεί έναν άλλον αριθμό που ονομάστηκε Λύκας-Λεμέρ και συμβολίζεται με L_N .Η δημιουργία του αριθμού αυτού θα μπορούσαμε να πούμε πως μοιάζει με την ακολουθία Φιμπονάτσι (a_n=a_n-1+a_n-2) , δηλαδή η δημιουργία του επόμενου προκύπτει από τους προηγούμενους. Έτσι για να βρούμε τον L_N υψώνουμε τον προηγούμενο στο τετράγωνο και αφαιρούμε 2 δηλαδή : L_N =(L_N-1)² -2 Για παράδειγμα για Ν=3 θέτουμε σημείο εκκίνησης L₃=14.

Έτσι θα έχουμε L₄=194, L₅=37634, L₆=1416317955,…..

Για παράδειγμα ο 2⁵ -1=31 διαιρεί τον L₅=37634 άρα ο αριθμός Μερσέν 2⁵ -1είναι πρώτος. Με αυτό το απλό τεστ «έπεσε» και το τελευταίο κάστρο που είχε υψώσει ο Μερσέν και απόδείκτηκε ότι ο 2²⁵⁷ -1 δεν είναι πρώτος…! Από τι φάνηκε η λίστα του Μερσέν ήταν εμπειρική και το γεγονός αυτό αμαύρωσε λίγο την φήμη του.

Παρόλο που είχαν ελεγχθεί όλοι οι πρώτοι των προβλέψεων του Μερσέν το «κυνήγι» των μεγάλων αριθμών Μερσέν είχε μόλις αρχίσει.

Ο Λεμέρ το 1952 ,με την βοήθεια ενός υπολογιστή που κατασκεύασε για αυτό το σκοπό, ξεπέρασε τις υπολογιστικές ικανότητες του ανθρώπινου μυαλού βρίσκοντας τον 2⁶⁰⁷ -1 πρώτο. Μέσα σε έναν χρόνο ο Ραφαήλ Ρόμπινσον είχε ήδη καταρίψει άλλες τρεις φορές το ρεκόρ του , και ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος ήταν τώρα το 2^2.281 -1 !!!

Έτσι μπαίνοντας στην εποχή των υπολογιστών ,μέχρι τα μέσα του 1990, οι μεγάλες εταιρίες άρχισαν να εκμεταλλεύονται την ολοένα αυξανόμενη ισχύ των υπολογιστικών συστημάτων για την παραγωγή μεγάλων πρώτων του Μερσέν. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι όταν οι Πολ Γκέιτζ και Ντέιβιντ Σλοβίνσκι με την βοήθεια του υπολογιστή Cray ,ενώ κατέρριπταν το ένα ρεκόρ μετά το άλλο, ανακοίνωσαν το 1996 τον έβδομο πρώτο τους τον 2^1.257.787 -1, έναν αριθμό με 378.632 ψηφία.

Σήμερα στην αναζήτηση των μεγάλων πρώτων του Μερσέν κυριαρχεί ποιος άλλος από το διαδίκτυο(Internet) με το γνωστό ως Great Internet Mersenne Prime Search (Μεγάλη διαδικτυακή έρευνα για πρώτους του Μερσέν) ή απλούστερα GIMPS . Ο εμπνευστής αυτού Γουόλτμαν στρατολογεί υπολογιστές από όλον τον κόσμο και εκμεταλλεύεται την υπολογιστική ισχύ τους βάζοντας τους να δουλεύουν παράλληλα.Ευχάριστη έκπληξη ήταν η ανακάλυψη , το 2001, από έναν Καναδό φοιτητή, με όνομα Μάικλ Κάμερον, με την χρήση του προσωπικού του υπολογιστή ότι ο 2^13.466.917 -1 είναι πρώτος – ( είναι ένας αριθμός 4 εκατομμύρια ψηφία). Μέχρι και την στιγμή που γράφονται αυτές οι γραμμές οι αριθμοί του Μερσέν που έχουν ανακαλυφθεί είναι 47 . Ο 47^ος είναι ο 2^42.643.801 -1 ένας αριθμός με 12.837.067 ψηφία , παράλληλα είναι και ο 2 μεγαλύτερος πρώτος που είναι γνωστός. Ο αριθμός αυτός ανακαλύφθηκε από τον Odd Magnar Strindmo από την Νορβηγία. Στο επόμενο Link παρουσιάζουμε την λίστα των πρώτων του Mersenne όπως διαμορφώνεται σήμερα http://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_prime .Όποιος θέλει μπορεί να λάβει μέρος στην έρευνα για να προσθέσει τον εαυτό του στο όνομα των εφευρετών αλλά και να κάνει δικό του το μεγάλο χρηματικό έπαθλο το οποίο συνοδεύει την ανακάλυψη του επόμενου μεγάλου πρώτου αριθμού .Περισσότερες πληροφορίες : http://www.mersenne.org/

3/7: Resistance Festival στο Γεωπονικό Πανεπιστήμιο

Το Resistance Festival 2011 που θα πραγματοποιηθεί στο Γεωπονικό Πανεπιστήμιο στην Ιερά Οδό την Κυριακή 3 Ιουλίου 2011 παρουσιάζει αγαπημένα ονόματα της ελληνικής και ξένης μουσικής. Το πρόγραμμα διαμορφώνεται ως εξής:

Red Snapper

Η βρετανική μπάντα έκανε αίσθηση από το 1996 με το καταπληκτικό «Prince Blimey». Οι Richard Thair, Ali Friend και David Ayers, με την προϋπηρεσία τους στην jazz αλλά και τη διάθεσή τους να πειραματιστούν με νέα στοιχεία, από funk μέχρι trip-hop, έφτιαξαν ένα ιδιαίτερο ήχο. Οι χορευτικότερες δομές του επόμενου δίσκου τους, τους εντάσσουν και στα ευρύτερα όρια της dance-electronica κουλτούρας, όπως επιβεβαιώνει και η περιοδεία τους με τους Prodigy. Οι κατευθύνσεις τους συνεχώς μεταλλάσσονται, αναζητώντας πια ακόμη και afrobeat μονοπάτια. Ο τελευταίος τους δίσκος «Κey» θεωρείται από πολλούς ο πιο δυναμικός και ανατρεπτικός.

The Swing Shoes + Sugahspank!

Sugahspank! Η μαύρη Πειραιώτισσα (όπως είθισται να τη χαρακτηρίζουν), σίγουρα μία απόλυτη performer on stage... Swing Shoes, μια ανήσυχη μπάντα με επιρροές από Django Reinhardt, Duke Ellington, Μανώλη Χιώτη αλλά και το σύνολο της swing, blues και παραδοσιακής jazz σκηνής.

Barbara's Straight Son

Ο βασικός πυρήνας των Barbara's Straight Son αποτελείται από τους Νίκο Χαλντούπη και Φώτη Βελέντζα, ένα πειραματικό ντουέτο με έδρα την Αθήνα. Από το 2004 γυρίζουν ταινίες και ταυτόχρονα πειραματίζονται στο χώρο του noise και breakcore. Έχοντας κυκλοφορήσει την πρώτη τους δισκογραφική δουλειά τo 2008 με τίτλο "Randomness Is Not Easy To Achieve", πλέον παρουσιάζουν στο κοινό ένα οπτικοακουστικό event με τη σύμπραξη του Λουκά Γιαννακίτσα (μπάσο) και του Αλέξη Σταυρόπουλου (τύμπανα). Η μουσική τους είναι ένα μείγμα μελωδιών και ήχων επιρεασμένων από παλιά ηλεκτρονικά παιχνίδια και ρυθμικών εναλλαγών από dub σε punk και από jazz σε jungle.

Έναρξη: 10μμ

Είσοδος: 6 ευρώ