Ο «χρυσός» αριθμός Φ: H αρμονία της τέχνης και μαθηματικών

Αν ποτέ, έτσι όπως κάνετε μια δροσιστική βουτιά στο βυθό της θάλασσας, ανακαλύψετε κάποιο από τα καμπυλωτά όστρακα, μπείτε στο κόπο να το βγάλετε στην επιφάνεια. Οχι μόνο επειδή είναι ένα ωραίο διακοσμητικό για το σπίτι, αλλά επειδή αξίζει να παρατηρήσει κανείς τις τέλειες αναλογίες που παρουσιάζουν οι καμπύλες του. Δεν είναι όμως το μοναδικό αντικείμενο πάνω στο οποίο μπορεί κάποιος να ανακαλύψει τη τελειότητα της φύσης. Ακριβώς οι ίδιες αναλογίες βρίσκονται τόσο στις ίνες ενός φύλλου οποιοδήποτε δέντρου, όσο και στο… ανθρώπινο σώμα.

H αρμονία αυτή που βρίσκεται σε υπερβολικά πολλά στοιχεία της φύσης δεν θα μπορούσε να περάσει απαρατήρητη από τους ιδιαίτερα παρατηρητικούς αρχαίους Ελληνες μαθηματικούς. Αναζητώντας τον τύπο που δίνει αυτή τη τέλεια αναλογία, ο Πυθαγόρας και ο Ευκλείδης αφιέρωσαν αρκετό χρόνο από τις ζωές τους και εν τέλει κατάφεραν να βρουν ένα… μαγικό αριθμό. Ο Πυθαγόρας είναι θεωρητικά ο πρώτος που ανακάλυψε το «χρυσό» αριθμό Φ, όμως η πρώτη γραπτή απόδειξη ύπαρξης του βρίσκεται σε ένα εκ των δεκατριών βιβλίων των «Στοιχείων» του Ευκλείδη.

Οι δύο μαθηματικοί, κατάφεραν με αυτή τους την ανακάλυψη να επηρεάσουν ολόκληρο το κόσμο της τέχνης, δίνοντας στους καλλιτέχνες όλων των ειδών την ευκαιρία να τελειοποιήσουν τις αναλογίες των έργων τους. Αυτό διότι ο αριθμός Φ, γνωστός και ως Χρυσή Τομή, είναι αυτός που συνδέει με εξαιρετική ακρίβεια την αρμονία των μαθηματικών με αυτή της φύσης, αλλά και της τέχνης.

Προσπαθώντας να βρουν τον ιδανικό τρόπο διαίρεσης ενός ευθύγραμμου τμήματος, οι δύο γνωστοί μαθηματικοί είχαν την ιδέα να χωρίσουν το συνολικό μήκος του στα δύο, με έναν μοναδικό τρόπο. Εκοψαν λοιπόν μια ευθεία στα δύο, προσέχοντας η αναλογία του μικρού κομματιού προς το μεγάλο να είναι ίση με αυτή που έχει το μεγάλο τμήμα προς το συνολικό μήκος. Αυτό οδήγησε στην ανακάλυψη που έχει επηρεάσει όσο καμία άλλη τον κόσμο της τέχνης. Ο αριθμός Φ είναι ακριβός αυτός ο λόγος των ευθυγράμμων τμημάτων.

Για να καταλάβουμε τη χρησιμότητα αυτού του αριθμού δεν χρειάζεται τίποτα άλλο από το ίδιο μας το σώμα. Αν παρατηρήσουμε τα δάχτυλά του χεριού μας, θα δούμε ότι χωρίζονται σε τρία τμήματα. Το κάθε ένα είναι κατά 1,618 φορές πιο «κοντό» από το προηγούμενο. Αν επίσης συγκρίνουμε το μήκος του μπράτσου με αυτό του πήχη, θα καταλήξουμε στον ίδιο ακριβώς αριθμό. Στην περίπτωση δε που μεταφερθούμε στο κεφάλι του ανθρώπινου σώματος, τότε σχεδόν όλα τα μέλη του κρύβουν μέσα τους το… περίεργο 1,618. Αυτός ο αριθμός, δεν είναι άλλος από τη Χρυσή Τομή.

Για την ακρίβεια, ο αριθμός Φ δεν έχει μόνο τρεις αριθμούς μετά την υποδιαστολή. Είναι ένας άρρητος αριθμός, δηλαδή ένας αριθμός που δεν μπορεί να προκύψει από το γινόμενο δύο άλλων, ο οποίος έχει άπειρα δεκαδικά στοιχεία. Με λίγα λόγια, ο αριθμός δεν είναι υπολογίσιμος, είναι όμως προσεγγίσιμος. Ετσι, αν κάποιος γλύπτης ήθελε να δημιουργήσει ένα μαρμάρινο ανθρώπινο με τέλειες αναλογίες δεν είχε παρά να συμβουλευτεί τις ιδιότητες της Χρυσής Τομής.
Το γράμμα «Φ» είναι αυτό που συμβολίζει τη Χρυσή Τομή, επειδή υπάρχει ο μύθος ότι ο Φειδίας ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε την… αρμονία του πάνω στο Παρθενώνα. Η αλήθεια είναι πως αν δει κάποιος το αρχαίο μνημείο, θα παρατηρήσει πάνω του αρκετές «χρυσές» αναλογίες.

Από τη στιγμή που η Χρυσή Τομή έγινε γνωστή και μετά, οι περισσότεροι καλλιτέχνες άρχισαν να τη χρησιμοποιούν για να δίνουν την αίσθηση του «τέλειου» στα έργα τους. Εφαρμογές του «μαγικού» αριθμού μπορούν να βρεθούν στην αρχιτεκτονική, την γλυπτική, τη ζωγραφική αλλά ακόμα και τη μουσική.
Ισως το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα χρήσης της να είναι τα ανθρώπινα σώματα που ζωγράφιζε ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι, εφαρμοσμένα πάνω σε τέλεια πεντάγωνα. Αντίστοιχα, ο Μότσαρτ διαίρεσε μεγάλο αριθμό από τις σονάτες του σε δύο μέρη, με χρονική αναλογία ίση με τον αριθμό Φ. Οι εφαρμογές της ανακάλυψης των δύο μαθηματικών στη τέχνη είναι εξαιρετικά πολλές και μπορούν να βρεθούν σε κάποια από τα γνωστότερα κτίρια, τους πιο φημισμένους πίνακες ή τα πιο εντυπωσιακά αγάλματα.

Πηγή:http://www.iefimerida.gr

Τα Μαθηματικά, μια κινούσα αρχή

Γράφει ο Τεύκρος Μιχαηλίδης

«Θέλω ένα βράδυ να κάνω ένα πάρτι, πάρτι από εκείνα τα παλιά, και να καλέσω σε εκείνο το πάρτι να `ρθουν τα πιο καλά παιδιά. Να `ρθει ο Καντίνσκι, να `ρθει κι ο Μπόρχες, να `ρθει ο Σινάτρα και να `μαι κι εγώ», τραγουδούσε ο Κηλαηδόνης το 1982 εκφράζοντας μουσικά κάτι που ήταν ανέκαθεν και δική μου ενδόμυχη επιθυμία. 

Κοιτάζοντας αναδρομικά τα τέσσερα μυθιστορήματά μου, νομίζω πως το «Πάρτυ» του Λουκιανού μαζί με τη σειρά «Ημουν κι εγώ εκεί» της Γεωργίας Ταρσούλη είναι τα δύο βασικά ερεθίσματα που με ώθησαν, δεκαετίες αργότερα, να γράψω κι εγώ.
Οι συναντήσεις του «Ιγερινού» με τον Πικάσο και τον Καραθεοδωρή, του «Αμανθυ» με τον Αχμές, του «Ντίρενματ» με τον Χίλμπερτ και την Εμι Νέδερ και πρόσφατα του «Αποστολίδη» με τον Εσερ και τον Γκρόθεντικ είναι τα μέρη από τις ιστορίες μου που προέκυψαν πιο αυθόρμητα, αυτά που απόλαυσα περισσότερο.
Η ιδέα να εντάξω τους φανταστικούς μου ήρωες μέσα σ' ένα πραγματικό περιβάλλον και να τους βάλω να αλληλεπιδράσουν με πραγματικά, ιστορικά πρόσωπα είναι για μένα ιδιαίτερα ελκυστική. Από εκεί και πέρα όμως, όλα τα υπόλοιπα οφείλουν να είναι απόλυτα ακριβή.
Οι τοποθεσίες, τα γεγονότα, το κλίμα, οι άνθρωποι. «Κι αν δεν έχουν συμβεί», μου είχε πει κάποτε ο αείμνηστος Ντενί Γκετζ, «θα πρέπει να μπορούσαν να έχουν συμβεί». Γι' αυτό και κάθε βιβλίο μου απαιτεί μια αρκετά εκτεταμένη έρευνα, πόσω μάλλον που στην ύφανσή του μπλέκονται νήματα από την Ιστορία, τα Μαθηματικά, την τέχνη και την καθημερινότητα της κάθε εποχής.
Συχνά με ρωτούν για το ρόλο που παίζουν τα Μαθηματικά στα μυθιστορήματά μου κι αν θα μπορούσα να γράψω κάτι χωρίς Μαθηματικά. Ας το ξεκαθαρίσω: Οι ιστορίες μου απαρτίζονται από στατικές εικόνες, σκηνές που τις φαντάζομαι να συμβαίνουν και που η καθεμιά τους ικανοποιεί το αισθητήριό μου.
Ομως για να γίνουν αυτές οι σκηνές μυθιστόρημα, για να αποκτήσουν μια λειτουργική ενότητα, χρειάζομαι ένα «μηχανάκι», μια vis viva όπως θα 'λεγε ο Λάιμπνιτς. Αυτή η κινούσα δύναμη είναι για μένα τα Μαθηματικά.
Το θεώρημα της μη πληρότητας στα «Πυθαγόρεια Εγκλήματα», τα «πρακτικά» μαθηματικά των Αιγυπτίων στον «Αχμές», το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων στα «Τέσσερα χρώματα» του καλοκαιριού και η συμμετρία στο «Μέτοικο». Αυτός είναι και ο λόγος που χαρακτηρίζω τα γραπτά μου ως μαθηματική μυθοπλασία. Οχι τόσο γιατί αναφέρονται στα Μαθηματικά, όσο γιατί δεν θα μπορούσαν να υπάρξουν χωρίς αυτά.
πηγή