Σάββατο, 30 Νοεμβρίου 2013

M.C. Escher: Ένας καλλιτέχνης των μαθηματικών


Δεν είναι λίγες οι φορές που κάποιος ζωγράφος προσπάθησε να αναπαραστήσει κάποιες μαθηματικές ιδέες. Χαρακτηριστικά παραδείγματα τέτοιων καλλιτεχνών που επηρέασαν βαθύτατα την εποχή τους είναι ο Da Vinci της Αναγέννησης, o σουρεαλιστής Dali, και o κυβιστής Picasso. Ο καθένας τους σε κάποιο βαθμό χρησιμοποίησε σκόπιμα ή άθελα του κάποιες μαθηματικές ιδέες όπως ο λόγος της χρυσής τομής, ο τετραδιάστατος χωροχρόνος και οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες.  
 
Δεν θα πρέπει, όμως, κανείς να παραλείψει από τον κατάλογο των ανθρώπων που συνδύασαν τις εικαστικές τέχνες με τα μαθηματικά τον Vassarely (πρόδρομος της Οπ Αρτ) ή του επίσης σουρεαλιστή Magritte.
 
Αν και πολλά από τα έργα των παραπάνω καλλιτεχνών είναι συνδυασμένα με τα μαθηματικά είναι δύσκολο να θεωρήσουμε ότι κάποιος από αυτούς συνειδητά και κατ' επανάληψη ενσωμάτωνε στοιχεία μαθηματικών στα έργα του, κάτι που φαίνεται να έκανε ο Ολλανδός Maurits Cornelis Escher. 
 
Ο Escher γεννήθηκε το 1898 και πέθανε το 1972. Κατά τη διάρκεια της ζωής του έζησε σε διάφορες χώρες της δυτικής Ευρώπης (Ιταλία, Ελβετία, Ολλανδία). Σημείο αναφοράς για την εξέλιξη του ως καλλιτέχνη αποτέλεσε η επίσκεψη του στο παλάτι της Αλάμπρα στη Γρανάδα της Ισπανίας, το οποίο οι Μαυριτανοί κατακτητές φρόντισαν να διακοσμήσουν με πανέμορφα καλλιτεχνήματα χρησιμοποιώντας και τις 17 δυνατές συμμετρίες. Τα έργα του Escher είναι κυρίως χαρακτικά (λιθογραφίες, ξυλοτυπίες, χαλκογραφίες)
 
Το σύνολο του έργου του ουσιαστικά ακροβατεί ανάμεσα στον φανταστικό και τον πραγματικό κόσμο. Η σύνδεση των δύο αυτών κόσμων γίνεται με περίτεχνη χρήση των μαθηματικών ιδεών. Αναπαριστώνται με μοναδικό τρόπο έννοιες της συμμμετρίας, οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες, ο χωροχρόνος, τα θεωρήματα της μη πληρότητας του Godel, η προβολική γεωμετρία, το τρίγωνο Penrose, η έννοια της αυτοαναφοράς, τοπολογικές έννοιες κ.α.. 
 
Μία από τις κεντρικές του ιδέες υπήρξε η κανονική διαίρεση του επιπέδου (η κάλυψη του επιπέδου με ίδιο μοτίβο που επαναλαμβάνεται διαρκώς χωρίς να μένουν κενά) που οδήγησε στις περίφημες πλακοστρώσεις του. Σημείο αναφοράς σ' αυτήν την κατηγορία των έργων του αποτελεί η "Μεταμόρφωση ΙΙΙ". Στο έργο αυτό παριστάνεται με περίσσεια μαεστρία ο κύκλος της ζωής και εμμέσως περιγράφεται η δαρβινική θεωρία της εξέλιξης.
 
Σε μία άλλη κατηγορία έργων του ο Escher προσεγγίζει το αδύνατο και το κάνει να φαίνεται πραγματοποιήσιμο. Οι αδύνατες κατασκευές του ξεγελούν το ανθρώπινο μάτι και αδημονούν να μας φιλοξενήσουν σε έναν κόσμο όπου όλα είναι δυνατά να συμβούν.
Τέλος, θα ήταν παράλειψη να μην επισημάνουμε ότι ο Escher υπήρξε ένας καλλιτέχνης με έντονες φιλοσοφικές ανησυχίες. Στα έργα του ο θεατής παρατηρεί τη συνεχή εναλλαγή έμψυχου και άψυχου, αλλά και την μετατροπή της μιας μορφής ζωής σε άλλη (τα ψάρια γίνονται πουλια, τα πουλιά μετατρέπονται σε χωράφια κ.τ.λ.). Αποκορύφωμα όλων αυτών είναι το "Μάτι" ένα έργο στο οποίο ο θεατής αντικρύζει στην κόρη του ματιού τον θάνατο, ένα έργο που σοκάρει, αλλά ταυτόχρονα προβληματίζει.
 
 Σε μία πολύ ενδιαφέρουσα διάλεξη στο μουσείο Ηρακλειδών ο Τεύκρος Μιχαηλίδης παρουσίασε τη ζωή και το έργο του διάσημου χαράκτη-γραφίστα μέσα από τη σκοπιά ενός μαθηματικού.
 
 
Blod | Μιχαηλίδης Τεύκρος | M.C. Escher: μαθηματικός χωρίς να το ξέρει

Πέμπτη, 28 Νοεμβρίου 2013

Καρλ Φρίντριχ Γκάους: Ο Πρίγκιπας των Μαθηματικών

Ο Gauss γεννήθηκε τον Απρίλιο του 1777 στο Brunswick της Γερμανίας, μέσα σε ένα περιβάλλον με αρνητικές συνθήκες για τη γέννηση ενός επιστήμονα τέτοιου μεγέθους.

Οι γονείς του ήταν φτωχοί και δεν είχαν λάβει ιδιαίτερη μόρφωση. Μόλις στα 14 του χρόνια είχε την ευκαιρία να λάβει κάποια επιχορήγηση από τον Δούκα της περιοχής (ο οποίος έμαθε για τις ασυνήθιστες ικανότητες του παιδιού) και να ξεκινήσει τις σπουδές του οι οποίες και κράτησαν 16 χρόνια.

Βέβαια η εργασία του πάνω στην αστρονομία και τα μαθηματικά είχε γίνει ήδη γνωστή από τα 25 του χρόνια. Στα 30 του πήγε στο Gottigen όπου και έζησε την υπόλοιπη ζωή του αφιερωμένη στην έρευνα.


Σε αντίθεση με την εξωτερική απλότητα που χαρακτήριζε τον ίδιο, η εποχή και η ζωή που έζησε ήταν τραγική και περίπλοκη. Εξ΄ αιτίας της Γαλλικής Επανάστασης και της περιόδου του Ναπολέοντα είχε προβλήματα με τις πολιτικές αναταραχές καθώς και μια έντονη οικονομική ανασφάλεια.

Έτσι δούλευε μόνος για όλη του τη ζωή. Είχε ένα πατέρα αδιάφορο. Μετά το πρόωρο θάνατο της πρώτης του συζύγου, απέκτησε μια δεύτερη σύζυγο με προβλήματα υγείας. Είχε επίσης δύσκολες σχέσεις με τους δύο του γιους που του αρνήθηκαν μια θέση στην ίδια του την οικογένεια μέχρι τα γεράματά του.



Παρ΄ όλες αυτές τις εξωτερικές καταστάσεις ο Gauss αφιέρωνε ώρες δουλειάς και είχε μια συνεχόμενη και πλούσια επιστημονική δράση. Αυτό που πάντα τον γοήτευε ήταν οι αριθμοί και αρχικά με αυτούς ασχολήθηκε: Άλγεβρα, Τοπολογία, Γεωμετρία, Πιθανότητες, Σφάλματα κλπ.

Ταυτόχρονα όμως με αυτή του τη «θεωρητική» και νοητική εργασία έκανε πολλές παρατηρήσεις και σε άλλα πεδία, όπως η Αστρονομία, η Μηχανική των πλανητών, ο Γεωμαγνητισμός, η Ηλεκτροδυναμική, η Γεωδαισία, η Οπτική κ.α.

Οι εκδόσεις και οι σημειώσεις του γίνονταν ανάρπαστες σε τέτοιο βαθμό που μπορούμε να μιλήσουμε για έναν από τους καλύτερους επιστήμονες του θεωρητικού τομέα. Από το 1800 ως το 1810 που θεωρείται η πιο «ενεργός» περίοδος από άποψη ανακαλύψεων, αναφέρεται ότι είχε λάβει πάνω από 7.000 γράμματα από φοιτητές και συναδέλφους του, ενώ αυτή του η τάση για συνεχή έρευνα τον έκανε, όσο περνούσαν τα χρόνια, να ανακαλύπτει νέα πράγματα με ένα όλο και ταχύτερο ρυθμό (το 1800 είχε φτάσει σε σημείο να δυσκολεύεται να καταγράψει τα αποτελέσματα των ερευνών του!).

Λέγεται ότι ο Gauss ήταν σε θέση να κάνει αριθμητικές πράξεις, πριν καν μιλήσει, ενώ από μικρή ηλικία βοηθούσε τον πατέρα του να υπολογίζει την πληρωμή για τα έργα που αναλάμβανε. Σε ένα αντίξοο από παιδαγωγικής –και όχι μόνο- άποψης περιβάλλον έμαθε μόνος του να γράφει και να διαβάζει (σε ηλικία 3 ετών), κάνοντας μόνος του πρακτική. Έχει μείνει μάλιστα γνωστό ένα «κατόρθωμά» του που αναφέρει ότι μόλις 8 χρονών μπόρεσε –προς έκπληξη όλων των δασκάλων του- να υπολογίσει αμέσως το άθροισμα των 100 πρώτων φυσικών ακεραίων ενώ στους συμμαθητές του πήρε παραπάνω από μία ώρα!
Εξ΄ αιτίας όλων αυτών των «περίεργων φαινομένων» και ταλέντων που παρουσίαζε ο νεαρός Gauss ανάγκασε ουσιαστικά τον πατέρα του να του επιτρέψει να πάει στο Γυμνάσιο αντί να σταματήσει και να βοηθήσει την οικογένειά του στα πιο πρακτικά επαγγέλματα.
Εκεί ήταν που ξεδιπλώθηκε ραγδαία όλο το ταλέντο του προς τις θετικές επιστήμες. Πέρασε τελικά στο Κολέγιο της γενέτειράς του το 1792 όπου και πήρε γνώσεις αρκετά ασυνήθιστες για την ηλικία του. Η γνώση κάποιων θεωριών ή συστημάτων που ήδη υπήρχαν, όπως οι πίνακες, τον οδήγησε στο να αναπτύξει ακόμη την ικανότητά του για υπολογισμούς, αν και το σύνηθες ήταν να ανακαλύπτει τέτοια πράγματα, πριν καν τα διδαχθεί, όπως το νόμο του Bode για τις αποστάσεις των πλανητών, το διωνυμικό θεώρημα για λογικούς εκθέτες και την αριθμο-γεωμετρική αντιστοιχία.

Ο Gauss πέρασε 3 πολύ δημιουργικά χρόνια στο Κολέγιο όπου συνέχισε την εμπειρική αριθμητική. Μπορούσε να υπολογίσει ρίζες με δύο διαφορετικούς τρόπους με ακρίβεια έως και 15 δεκαδικά ψηφία χρησιμοποιώντας πάντα ευφάνταστες μεθόδους. Δημιούργησε την αρχή των ελαχίστων τετραγώνων ενώ έψαχνε την κανονικότητα στην κατανομή των πρώτων αριθμών.

Παρ΄ όλα αυτά τα μαθηματικά δεν είχαν ακόμα κερδίσει το 100% της καρδιάς του νεαρού γιατί ταυτόχρονα είχε μεγάλη έφεση και στις γλώσσες (τις οποίες ποτέ δεν χρησιμοποίησε για ιδεολογικούς λόγους). Κάποιοι πιστεύουν πως την τελική απόφαση την πήρε αφού ανακάλυψε ότι μπορεί κανείς να κατασκευάσει ένα κανονικό 17-γωνο μόνο με κανόνα και διαβήτη (κάτι αδιανόητο για τον Ευκλείδη πριν 2000 χρόνια!). Όταν πέρασε στο Πανεπιστήμιο, έκανε πάλι δουλειά πάνω στη θεωρία των αριθμών. Διατύπωσε για πρώτη φορά το θεώρημα των πρώτων αριθμών και έδωσε τις πρώτες αποδείξεις που κατέρριπταν το γεγονός ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία ήταν η μόνη που υπήρχε. Ταυτόχρονα μελετώντας πολύ, αντιλαμβανόταν πως οι θεωρίες και οι ανακαλύψεις του δεν ήταν πάντα και τόσο νέες.

Έχοντας ως επιστημονικά πρότυπα τον Αρχιμήδη και τον Νεύτωνα, επέμενε πάντα στην έρευνά του στη μεγάλη ακρίβεια, το σαφές συμπέρασμα και την πλήρη απόδειξη, χωρίς πάντα την απλή γεωμετρική απεικόνιση, αλλά πάντα σκεπτόμενος με αριθμούς και άλγεβρα. Πίστευε ότι πρωτεύοντα ρόλο στην επιστήμη είχε η εμπειρία, δηλαδή το πρακτικό κομμάτι και όχι το θεωρητικό υπόβαθρο το οποίο όμως ήταν απαραίτητο για την αποδεικτική θεμελίωση. Δεν θα μπορούσαμε να τον χαρακτηρίσουμε άνθρωπο «της εκκλησίας» αλλά σίγουρα βαθιά θρησκευόμενο και αφιερωμένο στην έρευνά του.

Τον Gauss θα μπορούσαμε να τον περιγράψουμε ως μαθηματικό επιστήμονα. Η πραγματικότητα όμως είναι πως, αν και ξεκίνησε με ταλέντο ή κίνητρο τα μαθηματικά, η παραγωγικότητα και η προσφορά του σε τόσες επιστήμες είναι τόσο μεγάλη που ο καλύτερος τρόπος να περιγράψουμε την ειδικότητα του θα ήταν πανεπιστήμονας.

Ο Clemens Schofer, ένας από τους ανθρώπους που επιχείρησε να γράψει την βιογραφία του, αναφέρει: «Δεν ήταν στην πραγματικότητα ούτε καν φυσικός με την έννοια της έρευνας πάνω σε νέα φαινόμενα, αλλά έμοιαζε περισσότερο με ένα μαθηματικό που προσπάθησε να σχηματοποιήσει με ακριβή Μαθηματικά, το πείραμα που είχε πραγματοποιηθεί από άλλους». Αφήνοντας πίσω τις δυσκολίες της ζωής αλλά και τις προσωπικές του αποτυχίες, που το επιστημονικό τους κόστος ήταν αμελητέο, κατάφερε στο πρόσωπό του την σύμπτυξη του έργου και των έμφυτων ικανοτήτων οι οποίες αποδίδονται συνολικά σε όλη την κοινότητα των μαθηματικών της εποχής του.

Ο Gauss πέθανε το 1855 αλλά τα γραπτά του και τα ημερολόγιά του βρέθηκαν 50 χρόνια αργότερα, αποδεικνύοντας τελικά το μεγάλο έργο του στις επιστήμες. Αυτά περιείχαν πάνω από 146 σύντομες αναφορές συμπεριλαμβανομένης και της απόδειξής του ότι κάθε φυσικός ακέραιος είναι το άθροισμα 3 τριγωνομετρικών αριθμών… Το μόνο ελάττωμα του Γερμανού επιστήμονα ήταν η απροθυμία και η αντίδραση που είχε στο να δημοσιεύει τη δουλειά του…

Παρασκευή, 8 Νοεμβρίου 2013

Τραγωδίες του Ευριπίδη και τα Φυσικά του Αριστοτέλη σε έγγραφα του 9ου-11ου αιώνα

Τα έργα Άλκηστις, Μήδεια, Ιππόλυτος, Ορέστης και Φοίνισσες βρέθηκαν σε παλίμψηστο κώδικα στη Βιβλιοθήκη του Πατριαρχείου Ιεροσολύμων
 
Σε μια σημαντική ανακάλυψη προχώρησαν οι μελετητές εγγράφων που βρέθηκαν στη Βιβλιοθήκη του Πατριαρχείου Ιεροσολύμων με την άδεια του οποίου φωτογραφήθηκαν το Πάσχα του 2013. Μετά την σχετική εξέτασή τους αποκαλύφθηκε πως πρόκειται για ένα διπλό παλίμψηστο έγγραφο στο οποίο είναι καταγεγραμμένα πέντε έργα του Ευριπίδη (Άλκηστις, Μήδεια, Ιππόλυτος, Ορέστης και Φοίνισσες).
 
Όπως αναφέρει η εφημερίδα «Ελευθεροτυπία» πρόκειται για τον κώδικα του Παναγίου Τάφου 36, που μπαίνει στο μικροσκόπιο του προγράμματος «Palamedes», που διενεργείται από το Πανεπιστήμιο Georg August του Γκέτιγκεν, το Πανεπιστήμιο της Μπολόνιας και το Ιστορικό και Παλαιογραφικό Αρχείο του Μορφωτικού Ιδρύματος της Εθνικής Τράπεζας, μαζί με ένα άλλο χειρόγραφο, της Εθνικής Βιβλιοθήκης της Γαλλίας, το Parisinus gr.1330.
 
Με δηλώσεις του στην εφημερίδα ο υπεύθυνος του Ιστορικού και Παλαιογραφικού Αρχείου του Μορφωτικού Ιδρύματος της Εθνικής Τράπεζας, Αγαμέμνων Τσελίκας επεσήμανε: «Η νεότερη γραφή του είναι του 13ου αιώνα και περιέχει το βιβλίο των Προφητών της Παλαιάς Διαθήκης. Στις παλαιότερες γραφές, που χρονολογούνται στις αρχές του 9ου - 10ου αιώνα, περιέχονται αγιολογικά κείμενα σε κεφαλαιογράμματη γραφή, ποιητικά έργα του Γρηγορίου Ναζιανζηνού σε μία πάρα πολύ κομψή μικρογράμματη γραφή των αρχών του 10ου αιώνα, ενώ σε ένα άλλο τμήμα υπάρχουν κείμενα του Αριστοτέλη από τα "Φυσικά". Με τη διαφορά ότι εκεί που είναι γραμμένος ο Αριστοτέλης έχει γραφτεί και άλλο κείμενο, θεολογικό. Δηλαδή, το κομμάτι αυτό είναι διπλά παλίμψηστο και ως εκ τούτου η ανάγνωσή του αρκετά επίπονη».
 
Επίσης, πρόσθεσε: «Εμείς πάντα ελπίζουμε ότι θα έχουμε κάποιες διαφορετικές μαρτυρίες για το αριστοτελικό κείμενο, ενδεχομένως κάποιες παραλλαγές του γνωστού κειμένου. Στην παλαιότερη γραφή περιλαμβάνονται και αποσπάσματα από τραγωδίες του Ευριπίδη. Έχουμε εδώ την Άλκηστη, τη Μήδεια, τον Ιππόλυτο, τον Ορέστη και τις Φοίνισσες όπως και κείμενα ακόμη αταύτιστα. Σε αυτό το επίπεδο γραφής υπάρχει το ενδεχόμενο να έχουμε κείμενα άγνωστα, γραμμένα στο περιθώριο, που δεν έχουν ποτέ δημοσιευτεί».