Οι αριθμοί Fibonacci και η χρυσή τομή‏

Ο Fibonacci γεννήθηκε στη δεκαετία του 1170 στη Πίζα και πέθανε αυτή του 1240. Το πραγματικό του όνομα ήταν Leonardo Pisano, όμως ο ίδιος αποκαλούσε τον εαυτό του Fibonacci, σύντμηση του Filius Bonacci (γιος του Bonacci), από το όνομα του πατέρα του. Ο Fibonacci μεγάλωσε εκεί και η εκπαίδευσή του επηρεάστηκε σημαντικά από τους Μαυριτανούς αλλά και από τα ταξίδια που έκανε αργότερα σε όλο το μήκος της Μεσογειακής ακτής. Έτσι γνώρισε πολλούς εμπόρους και έμαθε τα αριθμητικά συστήματα που αυτοί χρησιμοποιούσαν για τις συναλλαγές και τους λογαριασμούς τους. Σύντομα διαπίστωσε τα πλεονεκτήματα του «Ινδοαραβικού» αριθμητικού συστήματος και έγινε από τους πρώτους που το εισήγαγαν στην Ευρώπη. Πρόκειται για το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιείται και σήμερα, με δέκα ψηφία, ένα εκ των οποίων το μηδέν, και την υποδιαστολή.

Η ακολουθία αριθμών στην οποία ο κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων είναι γνωστή ως ακολουθία Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ...
Ας προσπαθήσουμε τώρα να υπολογίσουμε τους λόγους 2 διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας.(Διαιρούμε κάθε αριθμό της ακολουθίας με τον επόμενό του) Έτσι έχουμε (οι υπολογισμοί γίνονται με 7 δεκαδικά ψηφία προσέγγιση χωρίς στρογγυλοποίηση) :
1/1=1,000000000000
1/2=0,500000000000
2/3=0,666666666666
3/5=0,600000000000
5/8=0,625000000000
8/13=0,61353846154
13/21=0,619047619
21/34=0,6176470588
34/55=0,6181818182
55/89=0,6179775281
89/144=0,6180555556
144/233=0,6180257511
233/377=0,6180371353
377/610=0,6180327869
Εύκολα παρατηρούμε πως αυτός ο λόγος τείνει να προσεγγίσει έναν αριθμό.
Ας προσπαθήσουμε τώρα να υπολογίσουμε το αντίστροφο(Διαιρούμε κάθε αριθμό της ακολουθίας με τον προηγούμενο του) :

1/1=1,0000000
2/1=2,0000000
3/2=1,5000000
5/3=1,6666667
8/5=1,6000000
13/8=1,6250000
21/13=1,61538615
34/21=1,619047619
55/34=1,617647059
89/55=1,618181818
144/89=1,617977528
233/144=1,618055556
377/233=1,618025751
610/377=1,618037135
Και σε αυτήν την περίπτωση βλέπουμε πως ο λόγος τείνει να προσεγγίσει έναν αριθμό.

Ο παρατηρητικός αναγνώστης ήδη θα έχει δει και την σχέση που συνδέει αυτούς τους δυο λόγους। Αυτή θα είναι (αν Fn ο n-στός όρος της ακολουθίας Fibonacci):

O λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας ονομάζεται Χρυσή Τομή, ή Χρυσή αναλογία, ή Αριθμό φ και προσεγγίζει τον άρρητο αριθμό 1.618033989..
Άρα σύμφωνα με αυτό ο παραπάνω τύπος μπορεί να γραφεί

Ο άρρητος αριθμός που προσεγγίζει τον φ είναι ακριβώς και η λύση της παραπάνω δευτεροβάθμιας εξίσωσης( αν απορρίψουμε την αρνητική λύση) δηλαδή .

Αν ο αριθμός φ είναι και ο λόγος των διαστάσεων ενός ορθογωνίου τότε το ορθογώνιο αυτό ονομάζεται χρυσό ορθογώνιο


Μπορούμε να δημιουργήσουμε άπειρα τέτοια ορθογώνια που το ένα να εμπεριέχει το άλλο(προσεγγίζοντας ακόμα περισσότερο το σχήμα της σπείρας)

Η πρώτη εικόνα είναι χρυσά ορθογώνια που σχηματίζουν μια σπείρα με μέγεθος ανάλογο με το πόσους αριθμούς Fibonacci έχουμε συμπεριλάβει. Η τρίτη εικόνα είναι η τομή από το κέλυφος του ναυτίλου (η ομοιότητα των σπειρών του Fibonacci και του συγκεκριμένου δημιουργήματος της φύσης είναι εκπληκτική αν και δεν είναι η μοναδική)

Οι χρυσές σπείρες και τα χρυσά ορθογώνια περιέχονται στην φύση στην αρχιτεκτονική στην γλυπτική στην ζωγραφική ακόμα και στο ανθρώπινο σώμα


Η ακολουθία Fibonacci και η φύση

Τα φυτά δε γνωρίζουν για την ακολουθία Fibonacci, απλά μεγαλώνουν με τον πιο πρόσφορο και αποδοτικό τόπο. Όμως η ακολουθία κάνει την εμφάνισή της στη διάταξη των φύλων γύρω από το μίσχο. Εμφανίζεται επίσης στην ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη των πετάλων στις μαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια. Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν τη σειρά αριθμών στη δομή της επιφάνειας των κορμών τους, ενώ τα φοινικόδεντρα στους δακτυλίους των κορμών τους. Όμως πώς προκύπτει αυτή η διάταξη, αυτή η συμμετρία σε σχέση με την ακολουθία; Στην περίπτωση του φυλλώματος μπορεί να σχετίζεται με τη μεγιστοποίηση του χώρου που είναι διαθέσιμος για την ανάπτυξη κάθε φύλλου ή το φώς πρέπει να πέφτει πάνω στο κάθε φύλλο. Η φύση προφανώς δεν προσπαθεί να χρησιμοποιήσει την ακολουθία Fibonacci, αυτή εμφανίζεται ως το δευτερεύον αποτέλεσμα μιας πολύ βαθύτερης φυσικής διαδικασίας.

Η χρυσή τομή στην Τέχνη και την Αρχιτεκτονική

Η χρυσή τομή συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα φ, το αρχικό του
ονόματος του Φειδία, δημιουργός των γλυπτών του Παρθενώνα(Χαρακτηριστικό παράδειγμα Αρχιτεκτονικής όπου συναντάται ο λόγος χρυσής τομής στις αναλογίες των πλευρών του.). Η πρόσοψη του Παρθενώνα όπως φαίνεται και από την φωτογραφία δίπλα, μπορεί νοητά να εγγραφεί σε ένα χρυσό ορθογώνιο που σημαίνει ότι ο λόγος των διαστάσεών του είναι ο αριθμός φ. Επίσης συναντάμε την χρυσή τομή από την πυραμίδα του Χέοπα και της Γκίζας στην αρχαία Αίγυπτο μέχρι στις μεσαιωνικές εξωτερικές διαρρυθμίσεις την κριρίων.

Η χρυσή τομή στη γλυπτική και ζωγραφική

Το βιβλίο του, όπου μελετούσε τον αριθμό φ, εικονογραφήθηκε από τον γνωστό καλλιτέχνη Leonardo da Vinci. Ο Leonardo για αρκετό καιρό έδειξε ένα διακαές ενδιαφέρον για τα μαθηματικά στην τέχνη και την φύση και επιδόθηκε σε συστηματικές μελέτες. Μελέτησε τις αναλογίες του ανθρωπίνου σώματος και ειδικότερα τις αναλογίες στο ανθρώπινο πρόσωπο.
Eργα Leonardo da Vinci (1451-1519)

Με την σειρά : Mona Lisa , Μελέτη αναλογιών σώματος κατά τον Vitruvious, Άγιος Ιερώνυμος, Μελέτη αναλογιών

προσώπου γέρου

Πέρα όμως από τα επιστημονικά δεδομένα η χρυσή αναλογία, ο αριθμός φ, περιβάλλεται από ένα πέπλο μυστηρίου, κυρίως γιατί εντυπωσιακές προσεγγίσεις του απαντώνται, εντελώς απρόσμενα σε ένα σωρό μέρη στη φύση. Ακόμα και μια τομή του ανθρώπινου DNA φαίνεται να ενσωματώνεται άψογα σε ένα χρυσό δεκάγωνο. Η χρυσή αναλογία και τα σχήματα που σχετίζονται με αυτή συνεχίζουν να κινούν το ενδιαφέρον των μαθηματικών, αλλά και των απλών ανθρώπων.

Επίλογος

Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν κάποια σχετική δυσκολία στο να χειριστούν τους άρρητους αριθμούς. Γι' αυτό και το Πυθαγόρειο Θεώρημα αποτελεί σταθμό στη μαθηματική σκέψη. Ονόμαζαν λοιπόν τους ρητούς αριθμούς (τα κλάσματα φυσικών) σύμμετρα μεγέθη, ενώ τους άρρητους όταν πλέον τους αποδέχτηκαν τους ονόμασαν ασύμμετρα μεγέθη.

Μία πρώτη διαπίστωση που μπορεί να κάνει και ένας μαθητής Γυμνασίου, είναι ότι μπορούμε να προσεγγίσουμε τους άρρητους με ρητούς αρκετά ικανοποιητικά. Άλλωστε και οι υπολογιστικές μηχανές χρησιμοποιούν μόνο ρητούς, αφού η οθόνη τους περιέχει πεπερασμένα δεκαδικά ψηφία.

Υπάρχει όμως ένα θεώρημα της θεωρίας αριθμών, το θεώρημα του Hurwitz, που εξηγεί πόσο «καλά» μπορούν οι ρητοί να προσεγγίσουν έναν άρρητο. Και εκεί υπάρχει ένας περιορισμός: Η συγκεκριμένη προσέγγιση δεν μπορεί να γίνει καλύτερη για τον αριθμό φ. Με άλλα λόγια, ο αριθμός προσεγγίζεται κατά τον χειρότερο τρόπο από τους ρητούς, είναι δηλαδή «ο πιο άρρητος από τους άρρητους»!

Γιατί αυτός ο «τόσο άρρητος» αριθμός, εμφανίζεται ξανά και ξανά στην φύση και μάλιστα είναι ο παράγοντας που καθορίζει την αρμονία και την ομορφιά στον κόσμο μας;