Πέμπτη, 7 Απριλίου 2011

Τα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας


1) Ο τετραγωνισμός του κύκλου
Ζητείται να κατασκευαστεί με τον κανόνα και τον διαβήτη τετράγωνο που να έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος κύκλου.

2) Ο διπλασιασμός του κύβου
Ζητείται να κατασκευαστεί με τον κανόνα και τον διαβήτη το μήκος της πλευράς κύβου με όγκο διπλάσιο ενός άλλου κύβου με γνωστή πλευρά.

3) Η τριχοτόμηση της γωνίας
Ζητείται να κατασκευαστεί με τον κανόνα και τον διαβήτη το 1/3 του μέτρου δοθείσης γωνίας που σχηματίζεται απο δύο ημιευθείες.

4) Η κατασκευή κανονικών πολυγώνων
Ζητείται να κατασκευαστεί με τον κανόνα και τον διαβήτη η πλευρά κανονικού ν-γώνου (ίσες γωνίες και πλευρές), όταν το ν είναι τυχαίος θετικός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του 3.

Με τα προβλήματα αυτά ασχολήθηκαν σχεδόν στο σύνολό τους οι γεωμέτρες της αρχαιότητας από τον 5ο π.Χ. αιώνα και έπειτα και απασχόλησαν το σύνολο της τότε κοινωνίας, αφού ανέβηκαν ορισμένα από αυτά (διπλασιασμός κύβου και τετραγωνισμός κύκλου) και ως έργα στη θεατρική σκηνή. Παρόλες τις προσπάθειες παρέμειναν άλυτα κάτω από τις συνθήκες που ζητούνταν οι λύσεις τους. Οι προσπάθειες όμως οδήγησαν στην επινόηση νέων επιφανειών (εκτός της επιφάνειας της σφαίρας, του κυλίνδρου και του κώνου) και καμπύλων (εκτός του κύκλου) ανοίγοντας νέους ορίζοντες στη μαθηματική επιστήμη.

Οι αποτυχίες ανέδυσαν τα ερωτήματα: Μήπως η λύση αυτών των προβλημάτων δεν είναι δυνατόν να γίνει μόνο με τον κανόνα και τον διαβήτη; Κάτω από ποιές προϋποθέσεις μπορούν να υπάρξουν λύσεις μόνο με τον κανόνα και το διαβήτη γι' αυτά τα προβλήματα;

Σήμερα οι απαντήσεις αυτών των ερωτημάτων είναι γνωστές. Η κατασκευή του τετραγωνισμού του κύκλου και του διπλασιασμού του κύβου με κανόνα και διαβήτη είναι αδύνατη, ενώ οι κατασκευές που ζητούνται από τα άλλα δύο προβλήματα είναι δυνατές μόνο κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις.

Η απόδειξη του αδύνατου της λύσης στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου δόθηκε το 1882.
Η απόδειξη του αδύνατου της λύσης στο πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου δόθηκε το 1829.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου