Benoit Mandelbrot

«Όντας μία γλώσσα, τα Μαθηματικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν όχι μόνον για να πληροφορήσουν αλλά, μεταξύ άλλων πραγμάτων, για να σαγηνεύσουν» - Benoit Β. Mandelbrot

Στις 14/10/2010 έφυγε απο την ζωή o μεγάλος μαθηματικός - πατέρας της fractal γεωμετρίας, ο οποίος κατάφερε να επιδείξει το πώς τα Φράκταλς εμφανίζονται σε διάφορα πεδία, εκτός των μαθηματικών, σχεδόν σε κάθε έκφραση της φύσης.

Ο Benoit Mandelbrot γεννήθηκε στις 20 Νοεμβρίου του 1924 στη Βαρσοβία (Πολωνία)σε μία οικογένεια με μεγάλη ακαδημαϊκή παράδοση. Ο πατέρας του, είχε ως επάγγελμα την αγοραπωλησία ρούχων, ενώ η μητέρα του ήταν γιατρός. Σαν μικρό παιδί ο Mandelbrot έκανε την γνωριμία με τα μαθηματικά μέσω των δύο θείων του.

Η οικογένειά του μετανάστευσε στη Γαλλία το 1936 και ο θείος του Szolem Mandelbrot, που ήταν καθηγητής Μαθηματικών στο Γαλλικό Κολλέγιο και διάδοχος του Hadamard σε αυτό το πόστο, πήρε την ευθύνη για τη μόρφωσή του. Στην πραγματικότητα η επιρροή του Szolem Mandelbrot ήταν ταυτόχρονα θετική και αρνητική, καθώς υπήρξε μεγάλος θαυμαστής του Hardy και της Φιλοσοφίας του περί Μαθηματικών. Αυτό δημιούργησε μία αντίδραση στον Mandelbrot για τα Καθαρά Μαθηματικά, αν και, τώρα πλέον, ο ίδιος λέει ότι κατανοεί πως ο Hardy τον έκανε να φοβάται ότι τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, στα λάθος χέρια, μπορεί να χρησιμοποιούνταν για κακό σε καιρό πολέμου.

Ο Mandelbrot φοίτησε στο Λύκειο Rolin στο Παρίσι μέχρι την έναρξη του 2ου παγκοσμίου πολέμου, όταν η οικογένειά του μετακόμισε στην Tulle στην κεντρική Γαλλία. Αυτή ήταν μία εποχή εξαιρετικής δυσκολίας για τον Mandelbrot που φοβήθηκε για την ζωή του σε πολλές περιπτώσεις. Ο πόλεμος, η συνεχής απειλή της φτώχιας και η ανάγκη επιβίωσης τον κράτησαν μακριά από το σχολείο και το κολέγιο και, παρότι αναγνωρίζει τους δασκάλους του της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης ως «θαυμάσιους», ο ίδιος ήταν σε μεγάλο βαθμό αυτοδίδακτος.

Ο Mandelbrot τώρα αποδίδει μεγάλο μέρος της επιτυχίας του στη μη συμβατική του εκπαίδευση. Του επέτρεψε να σκέφτεται με τρόπους που μπορεί να ήταν δύσκολοι για κάποιον που μέσω της συμβατικής εκπαίδευσης ενθαρρύνεται σθεναρά να σκέφτεται με δεδομένους τρόπους. Επίσης του επέτρεψε να αναπτύξει μία υψηλά γεωμετρική προσέγγιση των μαθηματικών, και η αξιοσημείωτη γεωμετρική του διαίσθηση και οπτική άρχισε να του δίνει μοναδικές ενοράσεις πάνω σε μαθηματικά προβλήματα.

Μετά τη φοίτησή του στη Λυών, ο Mandelbrot μπήκε στην Ecole Normale στο Παρίσι. Μάλλον ήταν μία από τις πιο σύντομες φοιτήσεις εκεί, αφού έφυγε μετά από μία μόλις ημέρα! Μετά από μία πολύ επιτυχημένη απόδοση στις εξετάσεις εισαγωγής στην Ecole Polytechnique, ο Mandelbrot ξεκίνησε τις σπουδές του εκεί το 1944. Φοίτησε υπό την καθοδήγηση του Paul Levy, που ήταν άλλος ένας άνθρωπος με ισχυρή επίδραση πάνω του.

Μετά τη συμπλήρωση των σπουδών του εκεί, πήγε στις Η.Π.Α., όπου επισκέφθηκε το Ινστιτούτο Τεχνολογίας στην Καλιφόρνια. Μετά από ένα διδακτορικό από το Πανεπιστήμιου του Παρισιού, πήγε στο Ινστιτούτο Προωθημένων Σπουδών στο Princeton, όπου μπήκε υπό την επίβλεψη του John von Neumann.

Επέστρεψε στη Γαλλία το 1955 και εργάστηκε στο Εθνικό Κέντρο Επιστημονικής Έρευνας. Παντρεύτηκε την Aliette Kagan κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου όπου διέμενε στη Γαλλία και στη Γενεύη, αλλά δεν του πήρε μεγάλο χρονικό διάστημα για να επιστρέψει στις Ηνωμένες Πολιτείες. Ο Clark αναφέρει τις αιτίες για την απογοήτευσή του με το στυλ Μαθηματικών στην Γαλλία εκείνη την εποχή:

«Βαθιά ενασχολημένος με τις πιο εξωτικές μορφές της Στατιστικής Μηχανικής και της Μαθηματικής Γλωσσολογίας και γεμάτος από μη τυποποιημένες δημιουργικές ιδέες βρήκε τη γαλλική μαθηματική σχολή σκέψης Bourbaki να μη βρίσκεται στο ύψος των επιστημονικών του αξιώσεων, και το 1958 έφυγε για τις Η.Π.Α. μονίμως και άρχισε τη μακρόχρονη και αποδοτική του συνεργασία με την ΙΒΜ σαν Συνεργάτης στα διάσημα εργαστήρια στο Yorktown Heights στην πολιτεία της Νέας Υόρκης.»

Η ΙΒΜ παρείχε στον Mandelbrot ένα περιβάλλον που του επέτρεψε να εξερευνήσει μία μεγάλη ποικιλία διαφορετικών ιδεών. Έχει πει ότι αυτή η ελευθερία να επιλέξει τις κατευθύνσεις που ήθελε ο ίδιος να πάρει στην έρευνά του, του έδωσε ευκαιρίες που κανένα Πανεπιστήμιο δε θα μπορούσε να του δώσει. Μετά την απόσυρση από την IBM, βρήκε παρόμοιες ευκαιρίες στο Πανεπιστήμιο του Yale, που ήταν Καθηγητής των Μαθηματικών Επιστημών.

Με τη βοήθεια των γραφικών μέσω υπολογιστών, ο Mandlbrot, που τότε δούλευε στο Ερευνητικό Κέντρο Watson της ΙΒΜ, κατάφερε να δείξει πως η εργασία του Julia είναι η πηγή για τα πιο όμορφα Φράκταλς που είναι γνωστά σήμερα (τα Σύνολα Julia). Για να το κάνει αυτό, δε χρειάστηκε μόνο να αναπτύξει νέες μαθηματικές ιδέες, αλλά να παράγει μερικά από τα πρώτα υπολογιστικά προγράμματα εκτύπωσης γραφικών.

Δική του επινόηση υπήρξε το λεγόμενο σύνολο ή φράκταλ του Mandelbrot που είναι ένα σύνολο συνδεδεμένων σημείων πάνω στο μιγαδικό επίπεδο. Ο τρόπος παράστασής του είναι ο εξής:

Επιλέγουμε ένα σημείο z0 στο μιγαδικό επίπεδο. Κάνουμε τη σειρά των υπολογισμών:

z1= z02 + z0
z2 = z12 + z0
z3 = z22 + z0
. . .

Εάν η ακολουθία z0 , z1 , z2 , z3 , ... παραμένει μέσα σε μία απόσταση 2 μονάδων από το αρχικό σημείο συνεχώς δηλαδή είναι φραγμένη, τότε το σημείο z0 λέγεται ότι ανήκει στο Σύνολο Mandelbrot και ζωγρφίζεται μαύρο. Εάν η ακολουθία αποκλίνει από την αρχή της, τότε το σημείο δεν ανήκει στο Σύνολο και το σημείο ζωγραφίζεται άσπρο .Το αποτέλεσμα είναι το γνωστότερο fractal που υπάρχει , ο ΄΄χοντρούλης΄΄ του Mandelbrot .
Το Σύνολο του Mandelbrot μπορεί να θεωρηθεί ως η Βιβλιοθήκη όλων των συνόλων Julia, καθώς, ξεκινώντας από κάθε σημείο που ανήκει σε αυτό, μπορούμε να πάρουμε, μέσω ενός αλγόριθμου, το σχετιζόμενο σύνολο Julia.

Η δουλειά του πρωτοδημοσιεύθηκε το 1975 στο βιβλίο του «Les objets fractals, forn, hasard et dimension» και πιο πλήρως στο «Η Φράκταλ Γεωμετρία της Φύσης», το 1982.

Στις 23 Ιουνίου του 1999 ο Mandelbrot έλαβε τον τιμητικό τίτλο του Δόκτωρα των Επιστημών από το Πανεπιστήμιο του St Andrews. Κατά τη διάρκεια της τελετής, ο Peter Clark εκφώνησε ένα λόγο που έθετε τα επιτεύγματα του Mandelbrot στο επίκεντρο.

Παραθέτουμε από εκείνον το λόγο:

«... στο κλείσιμο του αιώνα όπου η κίνηση της ανθρώπινης εξέλιξης διανοητικά, πολιτικά και ηθικά φαίνεται ίσως να είναι, στην καλύτερη των περιπτώσεων, αμφιλεγόμενη και διφορούμενη, υπάρχει μία περιοχή της ανθρώπινης δραστηριότητας όπου η ιδέα και η επίτευξη της εξέλιξης είναι αναμφίβολη και διαυγέστατατα ξεκάθαρη. Αυτή είναι τα Μαθηματικά. Το 1900, σε μία διάσημη διάλεξη στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών στο Παρίσι, ο David Hilbert κατέγραψε 25 άλυτα προβλήματα ξεχωριστής σημασίας. Πολλά από αυτά τα προβλήματα έχουν οριστικά επιλυθεί ή αποδείχθηκε ότι είναι άλυτα, και το επιστέγασμα είναι αυτό που όλοι γνωρίζουμε στα πρόσφατα χρόνια του μέσου της δεκαετίας του 1990, η απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat. Το πρώτο από τα προβλήματα του Hilbert αφορούσε ένα πλήθος από ζητήματα σχετικά με τη φύση του Συνεχούς ή του πραγματικού ορίου, μία μέγιστη ενασχόληση της ανάλυσης του 19ου και 20ου αιώνα. Το πρόβλημα ήταν ταυτόχρονα γεωμετρικό, αφορώντας την φύση της γραμμικής σκέψης που δομείται από σημεία και της αριθμητικής σκέψης ως τη θεωρία των πραγματικών αριθμών. Η σύζευξη αυτών των δύο πεδίων ήταν ένα από τα μεγάλα επιτεύγματα του Richard Dedekind και του George Cantor.

Στη βάση αυτής της επίτευξης βρίσκονται κάποια πολύ εκπληκτικά γεωμετρικά αντικείμενα. Για όλους εκείνη την εποχή φάνταζαν παράξενα, στην πραγματικότητα αληθινά νοσηρά τέρατα. Τόσο αλλόκοτα ήταν που αναμεταξύ τους υπήρχαν μονοδιάστατες γραμμές που γέμιζαν δυσδιάστατους χώρους, καμπύλες που είχαν καλή «συμπεριφορά», εάν εξαιρέσουμε βέβαια το ότι δεν είχαν κλίση σε κανένα σημείο! Και είχαν επίσης και περίεργα ονόματα, όπως η καμπύλη του Peano που γέμιζε το χώρο, η λωρίδα του Sierpinski, η νιφάδα του Koch, η σκόνη του Cantor. Παρά τις «παθολογικές» τους ιδιότητες, την εξαιρετική τους περιπλοκότητα, ειδικά όταν έβλεπες αυτά τα αντικείμενα σε όλο και μεγαλύτερη λεπτομέρεια, ήταν πολύ συχνά πολύ απλό το να τα περιγράψεις, καθώς οι κανόνες που τα παρήγαγαν ήταν εξωφρενικά απλοί για να τους διατυπώσεις. Τόσο παράξενα ήταν αυτά, που οι μαθηματικοί άρχισαν να μην ασχολούνται μαζί τους και να τα παραμερίζουν ως πολύ αλλόκοτα για να ασχοληθούν με αυτά. Τουλάχιστον μέχρι ο τιμώμενος να φτιάξει από αυτά μία ολοσχερώς καινούργια επιστήμη, τη θεωρία της φρακταλικής γεωμετρίας. Ήταν η ενόρασή του και το όραμά του που έβλεπε μέσα σε αυτά τα αντικείμενα και τα πολλά άλλα που ανακάλυψε, που κάποια φέρουν τώρα το όνομά του, όχι ως μαθηματικές παραδοξότητες αλλά σαν σημάδι για ένα καινούργιο μαθηματικό Σύμπαν, μία νέα Γεωμετρία με τόση συστηματική προσέγγιση και γενικότητα, όπως αυτό του Ευκλείδη και για μία νέα Φυσική Επιστήμη.»

Εκτός από συνεργάτης της ΙΒΜ στο Ερευνητικό Κέντρο Watson, ο Mandelbrot ήταν καθηγητής της Πρακτικής των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Harvard. Επίσης, κρατούσε διδακτικές ώρες ως Καθηγητής Μηχανικής στο Yale, ως Καθηγητής Μαθηματικών στην Ecole Polytechnique, ως Καθηγητής Οικονομικών στο Harvard και ως καθηγητής Φυσιολογίας στο Κολέγιο Ιατρικής Einstein. Οι εξερευνήσεις του Mandelbrot σε τόσους διαφορετικούς κλάδους της Επιστήμης ήταν, όχι ένα ατύχημα αλλά μία εσκεμμένη απόφαση από μέρους του. Όπως το γεγονός ότι τα Φράκταλς είναι τόσο διαδομένα τελικά στη φύση που οδήγησε στην κατεύθυνση και σε άλλα πεδία:

«Τα Φράκταλς και τα προ-φράκταλς που κάποτε παρατηρήθηκαν βρίσκονται παντού. Υπάρχουν στη Φυσική στην περιγραφή της εξαιρετικά περίπλοκης συμπεριφοράς μερικών απλών φυσικών συστημάτων, όπως το ενισχυόμενο εκκρεμές και της τεραστίως παράξενης συμπεριφοράς της τυρβώδους ροής και της εναλλαγής φάσεων. Είναι τα θεμέλια αυτού που τώρα είναι γνωστό ως χαοτικά συστήματα. Ισχύουν στην Οικονομία με τη συμπεριφορά των τιμών και, όπως ο Poincare (γάλλος Μαθηματικός που θεωρείται ο πατέρας της χαοτικής δυναμικής) υποψιάστηκε αλλά ποτέ δεν απέδειξε, στη συμπεριφορά του χρηματιστηρίου. Υπάρχουν στη Φυσιολογία της ανάπτυξης των κυττάρων των θηλαστικών. Είτε το πιστεύετε είτε όχι βρίσκονται... στους κήπους. Παρατηρήστε προσεκτικά και θα βρείτε μία διαφορά μεταξύ των ανθοφόρων στελεχών του μπρόκολου και του κουνουπιδιού, μία διαφοροποίηση που μπορεί να περιγραφεί επακριβώς με τη θεωρία των Φράκταλς!»