Παρασκευή, 5 Μαρτίου 2010

Evariste Galois


από τον Χρήστο Δεμοίρο

(περιοδικό Β' ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ-ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡEΙΑ, τ. 71, Μάρτιος 2009)

Γύρω στα 1830, στο περιβάλλον του Παρισιού, με την έντονη Μαθηματική δραστηριότητα, αναπτύχθηκε μια μεγαλοφυΐα πρώτου μεγέθους, που σαν κομήτης εξαφανίστηκε τόσο ξαφνικά, έτσι όπως είχε εμφανιστεί. Στη σύντομη και πολυτάραχη ζωή του ο Εβαρίστ Γκαλουά (Evariste Galois), πρόλαβε να αλλάξει την όψη της σύγχρονης Άλγεβρας και να δώσει απαντήσεις σε προβλήματα που απασχολούσαν τα Μαθηματικά για περισσότερα από 3.000 χρόνια ( Βαβυλωνίους, αρχαίους Έλληνες και Άραβες). Βρέθηκε όμως επανειλημμένως στη δίνη πολιτικών αντιπαραθέσεων που όχι μόνο τον απομάκρυναν από Ακαδημαϊκή καριέρα αλλά τον οδήγησαν τελικά στο θάνατο.

Ο Γκαλουά γεννήθηκε στις 25 Οκτωβρίου 1811 στη μικρή πόλη Bourg la Reine που βρίσκεται μερικά χιλιόμετρα νότια του Παρισιού. Ο πατέρας του ήταν ευχάριστος και πνευματώδης άνθρωπος και ήταν παθιασμένος εχθρός της μοναρχίας. Διατηρούσε οικοτροφείο νέων και το 1815, όταν ο μικρός Εβαρίστ ήταν 4 χρονών, εκλέχθηκε δήμαρχος της Bourg la Reine. Η μητέρα του προερχόταν από οικογένεια που είχε, επί πολλές γενιές, παράδοση διακεκριμένων δικαστικών. Κόρη ειρηνοδίκη είχε λάβει κλασσική και θρησκευτική παιδεία, ενώ λάτρευε τον αρχαίο πολιτισμό. Αυτή την παιδεία μετέδωσε στον γιο της, που πολύ νωρίς τον διέκρινε ένα βαθύ αίσθημα δικαιοσύνης και ένα πάθος για την δημοκρατία.

Το 1823 σε ηλικία 12 χρονών ο Γκαλουά μπήκε 4ος στο γυμνάσιο Louis le Grand στο Παρίσι. Στην αρχή η επίδοση του ήταν ικανοποιητική, αλλά λίγους μήνες μετά συνέβη κάτι που θα επηρέαζε την υπόλοιπη ζωή του. Η Γαλλία του 1823 αναπολούσε την επανάσταση. Ήταν μια εποχή συνωμοσιών, εξεγέρσεων και φημών για επικείμενη επανάσταση. Υπήρχε ένας αδιάκοπος αγώνας μοναρχικών και δημοκρατικών σχετικά με την ισορροπία των εξουσιών. Όλο αυτό το κλίμα μεταφερόταν και στο πρώην Ιησουϊτικό σχολείο του Γκαλουά. Με τη φήμη ότι το σχολείο θα επιστρεφόταν στη δικαιοδοσία ιερέων, των οποίων η αυξανόμενη επιρροή αποτελούσε ένδειξη μετατόπισης προς το βασιλιά, μία ημέρα, μερικοί από τους μαθητές των μεγαλύτερων τάξεων αρνήθηκαν να ψάλλουν στο παρεκκλήσι . Την επόμενη ο γυμνασιάρχης, που η συμπεριφορά του θύμιζε περισσότερο δεσμοφύλακα, δε δίστασε να αποβάλει 10 από τους υποκινητές της «εξέγερσης». Όταν το ίδιο απόγευμα οι μαθητές αρνήθηκαν να πιούν, σε πρόποση στην υγειά του Λουδοβίκου του 18ου, άλλοι 100 αποβλήθηκαν. Η εμπειρία της ταπεινωτικής ήττας των συμμαθητών του, αναζωπύρωσε τις δημοκρατικές πεποιθήσεις του Γκαλουά, αλλά παράλληλα τον έκανε να χάσει κάθε ενδιαφέρον που είχε για τα μαθήματα που μέχρι τότε παρακολουθούσε.

Την 2η χρονιά η απόδοση του συνεχώς μειωνόταν με αποτέλεσμα να μείνει στην ίδια τάξη. Έτσι αναγκάστηκε να παρακολουθήσει τάξη προπαρασκευαστικών μαθημάτων, μεταξύ των οποίων ήταν και τα Μαθηματικά που μέχρι τότε δεν είχε διδαχθεί ποτέ. Ήταν μια αποκάλυψη για τον δεκατριάχρονο Γκαλουά. Πολύ γρήγορα κατάλαβε την μεγαλοφυΐα του και τα σχολικά συγγράμματα έγιναν τετριμμένα για αυτόν. Έτσι άρχιζε να διαβάζει έργα αυθεντιών, όπως η γεωμετρία του Legendre, αλλά και άλγεβρα των Lagrange και Abel. Η ανωτερότητα που αισθανόταν πλέον, τον έκανε αλαζόνα και ο εύθυμος χαρακτήρας του άλλαξε. Έγινε ιδιόρρυθμος και κλείστηκε στον εαυτό του.

Η εργασία του στα Μαθηματικά του σχολείου ήταν μέτρια. Τα κανονικά μαθήματα ήταν ανιαρά για την μεγαλοφυΐα του και δεν ήταν καθόλου αναγκαία για την κατανόηση των πραγματικών Μαθηματικών. Το ξεχωριστό δώρο του Γκαλουά, να έχει την ικανότητα να εκτελεί τις πιο δύσκολες πράξεις και συλλογισμούς σχεδόν εξ’ ολοκλήρου μέσα στο μυαλό του, δεν τον βοήθησε ούτε με τους δασκάλους, ούτε με τους εξεταστές του. Έτσι οι δάσκαλοι του τον έκριναν λέγοντας ότι «υπάρχει κάτι περίεργο μ’ αυτόν», ή ότι «δεν είναι κακός, απλά επινοητικός και ιδιόρρυθμος». Μερικοί καθηγητές παραδέχονταν το ότι ήταν καλός στα Μαθηματικά τονίζοντας όμως ότι «τον έχει κυριεύσει η μανία των Μαθηματικών», αλλά μερικοί αρκούνταν σε έναν σαρκασμό «η εξυπνάδα του είναι προς το παρόν ένας μύθος στον οποίο δεν μπορούμε να δώσουμε πίστη», ή ακόμη χειρότερα τον κατηγορούσαν ότι «παριστάνει τον φιλόδοξο και τον πρωτότυπο».

Το 1829 δημοσίευσε την πρώτη του εργασία με τίτλο «Απόδειξη ενός θεωρήματος στα συνεχή κλάσματα», του οποίου η συμβολή ήταν αμελητέα σε σχέση με τις μετέπειτα ανακαλύψεις του. Ο δάσκαλος του Richard αναγνώρισε το «ταλέντο» του στα Μαθηματικά και εισηγήθηκε να γίνει δεκτός χωρίς εξετάσεις στην Ecole Polytechnique, που ήταν η πιο φημισμένη πανεπιστημιακή σχολή της Γαλλίας και εργάζονταν σ’ αυτήν οι διασημότεροι επιστήμονες της εποχής, χωρίς όμως επιτυχία. Τον ίδιο χρόνο πραγματοποιεί σπουδαίες ανακαλύψεις στη Θεωρία Εξισώσεων, γράφοντας μια εργασία. Αυτή την εργασία ανέλαβε να την παρουσιάσει στην Ακαδημία Επιστημών ο Cauchy, ο μεγαλύτερος τότε, Γάλλος Μαθηματικός. Μόνο οι Euler και Cayley μπορούν να αντιπαραβάλλουν το συγγραφικό τους έργο σε αυτό του Cauchy. Λίγες μέρες πριν την παρουσίαση της εργασίας όμως, ο Cauchy αρρώστησε και έτσι δεν μπόρεσε να παραβρεθεί στην Ακαδημία χάνοντας επιπλέον και το χειρόγραφο. Νέες ατυχίες και απογοητεύσεις περίμεναν τον Γκαλουά.

Στο τέλος της ίδιας χρονιάς επιχείρησε για δεύτερη φορά την εισαγωγή του στην Ecole Polytechnique. Ο Γκαλουά ήταν ήδη μεγάλος Μαθηματικός αλλά οι κριτές του δεν μπορούσαν να αντιληφθούν τις καινοτομίες του και τον τρόπο σκέψης του. Το αποτέλεσμα ήταν πάλι η αποτυχία. Η εξέταση του έγινε θρύλος. Η συνήθεια του να δουλεύει τα πάντα μέσα στο μυαλό του ήταν τρομερό μειονέκτημα όταν έπρεπε να βρεθεί μπροστά στον πίνακα με την κιμωλία. Στη διάρκεια της εξέτασης, κάποιος εξεταστής συζήτησε μαζί του ένα δύσκολο μαθηματικό θέμα. Αν και ο εξεταστής έκανε λάθος, ήταν πολύ ισχυρογνώμων και τότε απελπισμένος ο Γκαλουά έχασε την υπομονή του και πέταξε το σφουγγάρι πάνω του. Το τελευταίο πλήγμα (για εκείνη τη χρονιά) ήταν ο θάνατος του πατέρα του, που αυτοκτόνησε.

Αποφασισμένος για αναγνώριση, τον Φεβρουάριο του 1830 γίνεται για πρώτη φορά δεκτός από πανεπιστημιακή σχολή, την Ecole Preparatoire, σχολή κατώτερη της Ecole Polytechnique. Εκεί είχε το χρόνο να συνεχίσει την εργασία του και έτσι μετά από λίγο καιρό ξαναπέρασε την πύλη της Ακαδημίας Επιστημών καταθέτοντας το «μνημόνιο πάνω στις συνθήκες επιλυσιμότητας των εξισώσεων με ριζικά», διεκδικώντας το Μεγάλο βραβείο Μαθηματικών που επρόκειτο να δοθεί. Αυτή τη φορά αυτός που έπρεπε να αξιολογήσει και να παραδώσει το κείμενο στην Ακαδημία ήταν ο Fourier (γνωστός για τις περίφημες σειρές που φέρουν το όνομά του). Για κακή του τύχη όμως, ο Fourier πέθανε ένα βράδυ, στο κρεβάτι του στο Παρίσι, λίγες μέρες πριν από τη συνεδρίαση. Έτσι κανείς δεν παρουσίασε την εργασία του, που ουσιαστικά ποτέ δεν πήρε μέρος στο διαγωνισμό. Η ατυχία αυτή έμοιαζε για τον Γκαλουά κάτι παραπάνω από μια απλή σύμπτωση. Απογοητευμένος ρίχτηκε με πάθος στην πολιτική, προσχωρώντας σε ένα ριζοσπαστικό κίνημα που ήταν εκτός νόμου εκείνη την εποχή.

Οι πρώτοι πυροβολισμοί της επανάστασης του 1830 γέμισαν με χαρά τον Γκαλουά. Θέλησε να ξεσηκώσει τους συμφοιτητές του και να τους οδηγήσει στις συμπλοκές, αλλά αυτοί δίσταζαν να ακολουθήσουν. Το αποτέλεσμα ήταν να αποβληθεί δια παντός από την Ecole Preparatoire. Μη έχοντας τι άλλο να κάνει προσπάθησε να συγκροτήσει μια ιδιωτική τάξη Ανωτέρας Άλγεβρας, όπου θα παρέδιδε μαθήματα μία φορά την εβδομάδα. Η σειρά των μαθημάτων περιείχε και μια νέα θεωρία γνωστή σήμερα ως «Θεωρία των φανταστικών αριθμών του Galois». Η αδυναμία του να βρει μαθητές, τον οδήγησε στο να καταταχθεί στο Πυροβολικό της Εθνικής Φρουράς, ένα δημοκρατικό παρακλάδι της εθνοφρουράς, γνωστό και ως «Φίλοι του Λαού». Λίγες μέρες αργότερα ο βασιλιάς Λουδοβίκος – Φίλιππος επιθυμώντας να αποφύγει νέες εξεγέρσεις κατάργησε το Πυροβολικό της Εθνικής Φρουράς και έτσι ο Γκαλουά έμεινε άπορος και άστεγος.

Το πάθος του όμως για τα Μαθηματικά δεν είχε σβήσει. Το χειμώνα του 1831, για τρίτη (και φαρμακερή) φορά κατέθεσε το μνημόνιο του στην Ακαδημία. Αυτή τη φορά το μνημόνιο αξιολογήθηκε από τον Poisson (γνωστό για τους νόμους του στη θεωρία των πιθανοτήτων). Ο Poisson ούτε πέθανε, ούτε έχασε την εργασία, αλλά διαβάζοντας την δεν έδωσε την απαραίτητη προσοχή για να την καταλάβει. Η απάντηση ήταν «Κατέβαλα κάθε προσπάθεια να κατανοήσω την απόδειξη του κ. Γκαλουά. Οι συλλογισμοί του δεν είναι ούτε αρκετά σαφείς, ούτε αρκετά ανεπτυγμένοι για να μπορέσω να κρίνω την ακρίβεια τους, και βρίσκομαι σε αδυναμία να τους περιγράψω έστω και μερικώς στην αναφορά μου…»

Ήταν η σταγόνα που ξεχείλισε το ποτήρι।Είχε πληρώσει το τίμημα του να είναι μπροστά από την εποχή του, μπροστά ακόμη και από τους δασκάλους του. Μετά από αυτό ο Γκαλουά αφιέρωσε όλη τη δραστηριότητα του στην επαναστατική πολιτική. «Αν χρειάζεται το πτώμα κάποιου για να ξεσηκωθεί ο λαός» έγραψε «θα δωρίσω το δικό μου». Έλαβε μέρος σε όλες τις εξεγέρσεις και αναταραχές του Παρισιού. Στις 9 Μαΐου 1831, στο δημοκρατικό συμπόσιο που γινόταν, κρατώντας έναν σουγιά στο υψωμένο του χέρι, έκανε μία πρόποση «Στο βασιλιά Λουί – Φιλίπ». Αυτή η ενέργεια του θεωρήθηκε μεγάλη ασέβεια και οδηγήθηκε σε δίκη. Αν και αθωώθηκε τον κατέταξαν στους «επικίνδυνους» και ένα μήνα μετά, για ασήμαντη αφορμή τον συνέλαβαν και καταδικάστηκε σε εξάμηνη φυλάκιση, στις φυλακές της Αγίας Πελαγίας. Ένα μήνα όμως πριν τη συμπλήρωση της ποινής, ξέσπασε επιδημία χολέρας στο Παρίσι και οι φυλακισμένοι αφέθησαν ελεύθεροι. Ότι συνέβη στον Γκαλουά τις επόμενες εβδομάδες είναι κατά μεγάλο ποσοστό συνέπεια μιας ρομαντικής ιστορίας με μια μυστηριώδη γυναίκα την Στεφανί ντε Μοτέλ. Αυτός που δήλωνε ότι δεν θα παντρευόταν παρά μόνο μια σπουδαία γυναίκα, είχε πέσει στα χέρια μιας κοινής γυναίκας της κατώτερης υποστάθμης. Η Στεφανί ήταν αρραβωνιασμένη με κάποιον κύριο ονόματι ντ’ Ερμπανβίλ, ο οποίος ήταν ένας από τους καλύτερους σκοπευτές στη Γαλλία. Όταν ο ντ’ Ερμπανβίλ ανακάλυψε την απιστία προκάλεσε αμέσως τον Γκαλουά σε μονομαχία την επόμενη αυγή. Πολλοί ισχυρίζονται ότι ήταν άλλο ένα σχέδιο εξόντωσης του και ο Γκαλουά ήξερε εκ των προτέρων την κατάληξη της μονομαχίας.

Το βράδυ πριν τη μονομαχία, σε μια απεγνωσμένη προσπάθεια να κερδίσει την αναγνώριση, κατέγραψε μεταξύ άλλων όλα τα θεωρήματα που πίστευε ότι εξηγούν το αίνιγμα των εξισώσεων πέμπτου βαθμού. Προσπάθησε σε ένα βράδυ, βιαστικά, να εκφράσει όλη την επιστημονική διαθήκη που είχε στο μυαλό του, γράφοντας στο χαρτί του. Κάπου κάπου κατέρρεε, και σημείωνε με ορνιθοσκαλίσματα στο περιθώριο «Δεν έχω χρόνο, δεν έχω χρόνο». Στο τέλος της νύχτας έγραψε μια συνοδευτική επιστολή στο φίλο του Σεβαλιέ, ζητώντας του, μετά το θάνατο του, να διανεμηθούν οι εργασίες του στους μεγαλύτερους Μαθηματικούς της Ευρώπης. Κατέληγε με τα εξής λόγια «Θα ζητήσεις δημόσια από τον Jacobi ή τον Gauss να εκφέρουν τη γνώμη τους όχι πάνω στην ορθότητα, αλλά στη σημασία των θεωρημάτων. Ύστερα από αυτό, θα υπάρξουν ελπίζω μερικοί που θα θεωρήσουν ωφέλιμο γι’ αυτούς να αποκρυπτογραφήσουν ό,τι περιέχεται σ’ όλον αυτόν τον συρφετό». Το επόμενο πρωί, την Τετάρτη 30 Μαΐου 1832, σε έναν απομακρυσμένο αγρό, ο Γκαλουά χτυπήθηκε από το όπλο του ντ’ Ερμπανβίλ και άφησε την τελευταία του πνοή, σε ηλικία 20 ετών, λίγες ώρες αργότερα σε κάποιο νοσοκομείο της περιοχής.

Χρειάστηκαν έντεκα χρόνια μέχρι ο Ζοσέφ Λιουβίλ να ανακαλύψει την αξία των χειρογράφων του Γκαλουά. Ο Λιουβίλ ξόδεψε μήνες προσπαθώντας να ερμηνεύσει τη σημασία των ευφυών υπολογισμών. Τελικά το 1846 δημοσίευσε τις εργασίες σε κάποιο έγκυρο Μαθηματικό περιοδικό. Οι εργασίες αυτές δεν είχαν τίποτε λιγότερο από τη Θεωρία Ομάδων, το κλειδί της σύγχρονης Άλγεβρας και Γεωμετρίας (αλλά σημαντική και για την Κβαντομηχανική, τη Χημεία και την Κρυσταλλογραφία). Έκφρασε θεμελιώδεις ιδιότητες της ομάδας μετασχηματισμών που προσδιορίζεται από τις ρίζες μιας αλγεβρικής εξίσωσης. Αρχαία προβλήματα όπως η τριχοτόμηση της γωνίας, ο διπλασιασμός του κύβου, η επίλυση τριτοβάθμιας, τεταρτοβάθμιας καθώς και η επίλυση αλγεβρικής εξίσωσης οποιουδήποτε βαθμού, βρήκαν τη φυσική τους θέση μέσα στη θεωρία Galois. Η πλήρης κατανόηση της σπουδαιότητας του έργου του Γκαλουά επιτεύχθηκε όμως μόνο διαμέσου των εργασιών των Jordan, Klein και Lie για τις μεταθέσεις (1870). Τότε η ενοποιητική αρχή του Γκαλουά αναγνωρίστηκε ως ένα από τα κορυφαία επιτεύγματα των Μαθηματικών του 19ου αιώνα.
Ο Γκαλουά είχε επίσης ορισμένες ιδέες για τα ολοκληρώματα των αλγεβρικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Αυτό δείχνει ότι ο τρόπος σκέψης του ήταν πολύ κοντά σ’ εκείνον του Riemann, περίπου είκοσι χρόνια πριν από αυτόν. Θα μπορούσαμε λοιπόν να διατυπώσουμε την εικασία ότι, αν ο Γκαλουά ζούσε περισσότερο, τα σύγχρονα Μαθηματικά θα είχαν δεχτεί πιο βαθιά επίδραση από το Παρίσι και τη σχολή του Lagrange, παρά από το Γκέτινγκεν και τη σχολή του Gauss.

Βιβλιογραφία:
1. Carl B. Boyer – Uta C. Merzbach. Η ιστορία των μαθηματικών. Εκδόσεις Γ. Α. Πνευματικού.
2. Simon Singh. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Εκδόσεις Τραυλός
3. Dirk J. Struik. Συνοπτική ιστορία μαθηματικών. Εκδόσεις Ι. Ζαχαρόπουλος
4. E. T. Bell. Οι μαθηματικοί. Τόμος II. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
5. Denis Guedj. Το θεώρημα του παπαγάλου. Εκδόσεις Πόλις
6. Στυλιανού Ανδρεαδάκη. Θεωρία Galois. Εκδόσεις Συμμετρία
7. Tom Petsinis. Ο Γάλλος μαθηματικός. Εκδόσεις Τραυλός

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου