Πέμπτη, 29 Ιουλίου 2010

Τα ψηφία του π και ο τετραγωνισμός του κύκλου‏



Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Το π είναι ένας αριθμός με άπειρα δεκαδικά ψηφία για τα οποία δεν υπάρχει καμία κανονικότητα (ή δεν έχει ανακαλυφθεί….) Υπάρχει και σχετική ταινία για την αναζήτηση κανονικοτήτων στα ψηφία του π η οποία και προτείνεται (http://www.imdb.com/title/tt0138704/).
Εδώ είναι τα πρώτα 40 ψηφία του π
3.1415926535897932384626433832795028841972


Παρόλα αυτά η προσδοκία εμφάνισης των αριθμών(0-9) μέσα στην άπειρη αυτή ακολουθία είναι 1/10(ομοιόμορφη κατανομή). Για παράδειγμα στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζουμε τις φορές που εμφανίζεται ο κάθε αριθμός μέσα στα πρώτα 10.000.000 ψηφία του π :
0 99944010.000.000/10
1 99933310.000.000/10
2 100030610.000.000/10
3 99996510.000.000/10
4 100109310.000.000/10
5 100046610.000.000/10
6 99933710.000.000/10
7 100020610.000.000/10
8 99981410.000.000/10
9 100004010.000.000/10
Εδώ να σημειώσουμε ότι αυτό είναι κάτι που παρατηρείται όχι μόνο μέχρι τα 10.000.000 αλλά μέχρι τα ψηφία του π τα οποία έχει βρει ο άνθρωπος(ούτε λίγο ούτε πολύ
1.2411 τρισεκατομμύρια ψηφία)
Στα μαθηματικά όμως(και αυτή είναι η μαγεία τους) αυτό δεν μπορεί να γίνει κανόνας όπως θα γινόταν σε οποιαδήποτε άλλη επιστήμη. Αυτό δεν μπορεί παρά να είναι μια υπόθεση που μπορεί να μην αποδειχθεί ποτέ. Από την άλλη βέβαια κάποιος μπορεί να πει: «Τι άλλο θες έχουμε φτάσει 1.2411 τρισεκατομμύρια ψηφία και ακόμα ισχύει πότε θα είσαι απόλυτα σίγουρος?» Τότε με απόλυτη βεβαιότητα θα του πω πως κανένα πεπερασμένο πλήθος ψηφίων(όσο μακριά και να πάμε στην άπειρη ακολουθία) δεν θα είναι αρκετό για να φτιάξουμε τον κανόνα αφού και πάλι το ποσοστό των ψηφίων του π που θα ξέρουμε σε σύγκριση με το σύνολο θα είναι 0!!!!! Σχετικά απλή απόδειξη* αυτού : Το ποσοστό που αναζητούμε είναι ένα κλάσμα (αριθμός γνωστών ψηφίων/συνολικός αριθμός ψηφίων)100%. Όμως ότι αριθμό και να βάλουμε(όσο μεγάλο, αλλά πεπερασμένο πάντα) στο αριθμητή το κλάσμα πάντα θα τείνει στο 0 αφού παρονομαστής είναι ∞ (α/∞=0 ). Έτσι μπορούμε μόνο να εικάζουμε ότι η στατιστική συμπεριφορά που έχει η ακολουθία για τα πρώτα 10.000.000 ψηφία είναι ίδια με αυτήν για τα επόμενα 1.2411 τρισεκατομμύρια που όντως είναι, αλλά το τι γίνεται από εκεί και πέρα (αλλά και από εκεί που θα ανακαλύψουμε στο μέλλον και πέρα) μόνο…… ο Θεός θα το ξέρει!

Ξεφεύγοντας από το αυστηρό κλίμα των μαθηματικών να αναφέρουμε ότι υπάρχουν πολλοί που προσπαθούν να απομνημονεύσουν όσα περισσότερα ψηφία μπορούν έχοντας ξεκινήσει έναν άτυπο (και ανούσιο μάλλον) διαγωνισμό. Ένας Ιάπωνας είπε από μνήμης, και χωρίς να σταματήσει καθόλου, τα πρώτα 83.431 ψηφία(Τον πήρε σχεδόν μισή μέρα αδιάκοπης απαγγελίας…..) .Υπάρχει όμως και μια ελληνική έκφραση που μας βοηθάει να θυμόμαστε μερικά από τα ψηφία του π. «Αεί, ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω παρήγαγεν αριθμόν απέραντον και ον, φευ, ου¬δέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι» (3,1415926536897932384626 ).Κάθε λέξη της έκφρασης αντιστοιχεί και σε έναν αριθμό, τον αριθμό που προκύπτει αν προσθέσουμε όλα τα γράμματά του . Έτσι αν γράψουμε όλους τους αριθμούς, στην σειρά, αυτής της έκφρασης θα πάρουμε τα πρώτα 22 (δεκαδικά)ψηφία του π!!!

«Όλοι οι αριθμοί είναι ενδιαφέροντες, μερικοί όμως είναι πιο ενδιαφέροντες από τους άλλους και το π είναι ο πιο ενδιαφέρων από όλους» λέει ο Ιαν Στιούαρτ, καθηγητής των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Γουόρικ.

Το περίεργο είναι ότι το π είναι ταυτοχρόνως άρρητος και υπερβατικός αριθμός. Άρρητος επειδή δεν μπορεί να εκφραστεί ως ο λόγος δύο ακέραιων αριθμών και υπερβατικός επειδή δεν μπορεί να προκύψει ως ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές (ισοδυνάμως και ρητούς συντελεστές).



Και τώρα πηγαίνουμε σε ένα από τα πιο παρεξηγημένα θέματα των μαθηματικών : Τον τετραγωνισμό του κύκλου. Στην πραγματικότητα δεν υπάρχει καν πρόβλημα αφού έχει αποδειχθεί* το 1882 από τον Λίντενμαν ότι δεν γίνεται να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη** τετράγωνο που να έχει εμβαδόν ίδιο με έναν συγκεκριμένο κύκλο ακτίνας r. Και αυτό ισχύει λόγω αυτής της μη υπερβατικότητας του π που αναφέραμε νωρίτερα που ανάγει το π σε έναν μη κατασκευάσιμο αριθμό.
Βέβαια υπάρχουν πολλοί που αδυνατούν να το κατανοήσουν αυτό επειδή είναι πολύ απλή απόδειξη και διάφορα άλλα. Έτσι κατά καιρούς εμφανίζονται διάφορες «μαθηματικές διάνοιες » και ισχυρίζονται ότι τον τετραγώνισαν….. Η αλήθεια είναι ότι διάφορες προσεγγίσεις έχουν επιτευχθεί αλλά καμία ποτέ δεν θα πετύχει ΠΟΤΕ ακριβώς το ζητούμενο.

*Ορισμός Μαθηματικής απόδειξης : Στα μαθηματικά, απόδειξη είναι μια πειστική παρουσίαση ότι κάποια μαθηματική πρόταση είναι απαραίτητα ορθή, μέσα στα αποδεκτά πλαίσια του πεδίου των μαθηματικών. Η απόδειξη παράγεται αναγωγικά και όχι εμπειρικά. Δηλαδή, η απόδειξη πρέπει να δείχνει ότι μια πρόταση είναι αληθής για όλες τις περιπτώσεις που εφαρμόζεται, χωρίς καμία εξαίρεση
** Θεώρημα του Mohr-Mascheroni : Έχει αποδειχθεί ότι οποιαδήποτε γεωμετρική κατασκευή πραγματοποιείται με κανόνα και διαβήτη, μπορεί να κατασκευασθεί μόνο με διαβήτη»

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου